[HDU 4372]Count the Buildings(第一类斯特林数+组合数)

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4372

题目大意

有 n 个建筑排成一列，它们的高度是在 1到n 之间，且没有两个建筑高度相同。从前面看能看到 F 个建筑，从后面看能看到 B 个建筑，问这样的建筑排列共有多少种。

思路

第一类斯特林数 s1[i][j]=i 个互不相同的物品，划分成 j 个环的方案数。

s1[i][j]=s1[i−1][j−1]+(i−1)s1[i−1][j]

递推式的解释：对于第 i 个物品，如果前 i−1 个物品构成 j−1 个环，那么它可以单独构成第 j 个环。如果前 i−1 个物品已经构成了 j 个环，那么它可以选择放在其中一个物品后面，共 i−1 个选法，故为 (i−1)s1[i−1][j]

实际上，一个长度为 n 的环的排列的个数就等于 n−1 个数排列的个数 ＊ ，这是很显然的，因为要为了避免重复计算方案数，断环为链，并约定序列最前面永远是元素1，这样就是要求剩下的 n−1 个元素的排列，即环排列数等于 (n−1)! ，证毕。

注意到建筑物所有的排列的情形都类似于上图：所有的橙色建筑都是能从前方或者后方被看到的，所有的黄色建筑都是看不到的。并且最高的那个建筑物从前或从后都能看到，能看到的建筑物总数为 F+B−1 。我们把所有的建筑物划分成 F+B−1 组，每组里只能看到组内最高的那个元素。那么在最高的楼前面的组里，每组里最高的楼一定是在每组里的最前面，在最高的楼后面的组里，每组里最高的楼一定是在每组里的最后面，那么假如确定了一个组里的元素，并且组里共 n 个元素，则这个组的所有排列的方案数是 (n−1)! ，根据上面所说的性质 ∗ ，就是 n 个元素的环排列个数了。

以最高的那个建筑物为中点分开看，能被前面看到的建筑物(不算最高的那个)的个数是 F−1 ，能被后面看到的建筑物(不算最高的那个)的个数是 B−1 ,这意味着最高的楼的左边有 F−1 组，右边有 B−1 组。

除掉最高的那个建筑后，还有 n−1 个建筑，它们分成 F+B−2 组环排列，可以构成 s1[n−1][F+B−2] 个方案，然后我们要在这 F+B−2 组里，选择其中 F−1 组放到前面， B−1 组放到后面，这个操作的方案数是 CF−1F+B−2 。根据乘法原理，最终的答案为：

ansn,F,B=CF−1F+B−2s1[n−1][F+B−2]

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 2200
#define MOD 1000000007

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL s1[MAXN][MAXN],C[MAXN][MAXN];

void GetCombination()
{
    for(int i=1;i<MAXN;i++)
    {
        C[i][0]=1%MOD;
        C[i][i]=1%MOD;
        for(int j=1;j<i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
    }
}

void GetFirstStirling()
{
    for(int i=1;i<MAXN;i++)
    {
        s1[i][0]=0;
        s1[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            s1[i][j]=(((i-1)*s1[i-1][j])%MOD+s1[i-1][j-1])%MOD;
    }
}

int main()
{
    GetCombination();
    GetFirstStirling();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        LL n,f,b;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&f,&b);
        printf("%lld\n",C[f+b-2][f-1]*s1[n-1][f+b-2]%MOD);
    }
    return 0;
}