浅谈AdaBoost算法--附有详细示例解析
本篇文章先介绍了提升放法和AdaBoost算法。已经了解的可以直接跳过。后面给出了AdaBoost算法的两个例子，附有详细计算过程。
1、提升方法（来源于统计学习方法）
提升方法是一种常用的统计学习方法，应用十分广泛且有效。在分类问题中，它通过改变训练样本的权重，学习多个分类器，并将这些分类器进行线性组合，提高分类的性能。提升算法基于这样一种思路：对于一个复杂任务来说，将多个专家的判断进行适当的综合所得出的判断，要比其中任何一个专家单独的判断好。实际上，就是“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的道理。
历史上，Kearns和Valiant首先提出了“强可学习（strongly learnable）”和“弱可学习（weakly learnable）”的概念。指出：在概率近似正确（probably approximately correct，PAC）学习框架中，一个概念（一个分类），如果存在一个多项式的学习算法能够学习它，并且正确率很高，那么就称这个概念是强可学习的；一个概念，如果存在一个多项式的学习算法能够学习它，学习的正确率仅比随机猜测略好，那么就称这个概念是弱可学习的。非常有趣的是Schapire后来证明强可学习与弱可学习是等价的，也就是说，在PAC学习的框架下，一个概念是强可学习的充分必要条件是这个概念是弱可学习的。
这样一来，问题便成为，在学习中，如果已经发现了“弱学习算法”，那么能否将它提升（boost）为“强学习算法”。大家知道，发现弱学习算法通常要比发现强学习算法容易得多。那么如何具体实施提升，便成为开发提升方法时所要解决的问题。关于提升方法的研究很多，有很多算法被提出。最具代表性的是AdaBoost算法（AdaBoost algorithm）。
对于分类问题而言，给定一个训练样本集，求比较粗糙的分类规则（弱分类器）要比求精确的分类规则（强分类器）容易得多。提升方法就是从弱学习算法出发，反复学习，得到一系列弱分类器，然后组合这些分类器，构成一个强分类器。
这样。对于提升算法来说，有两个问题需要回答：一是在每一轮如何改变训练数据的权值分布；二是如何将弱分类器组合成为一个强分类器。
2、AdaBoost算法
对于上一小节末尾提出的提升方法的两个问题，AdaBoost算法的做法是：1、提高那些被前一轮弱分类器错误分类样本的权值，而降低那些被正确分类样本的权值。2、采用加权多数表决的方法。具体的，加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起较大的作用，减小分类误差大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。
下面给出AdaBoost算法的公式：
输入：训练数据集 T={（x1,y1）,（x2,y2）,...（xN,yN）} ,其中 xi∈X⊆Rn,yi∈Y={−1,+1} ;弱学习算法。
输出：最终分类器G(x)。
（1）初始化训练数据的权值分布
D1=(w11,...,w1i,...,w1N),w1i=1N,i=1,2,...,N
注：第一次训练弱分类器时各个样本的权值是相等的。
（2）对m=1,2，…,M 注：这里是个循环
（a）使用具有权值分布 Dm 的训练数据集学习，得到基本分类器Gm:X→{−1,+1}
（b）计算 Gm(x) 在训练集上的分类误差率em=P(Gm(xi)≠yi)=∑i=1nwmiI(Gm(xi)≠yi)
注： I(Gm(xi)≠yi) ：不等函数I值为1.相等函数值为0。
（c）计算 Gm(x) 的系数αm=12log1−emem这里的对数是自然对数。注：显然 αm 是 em 的调单减函数，这里就解释了为什么对于没有正确分类的数据要加大权值。
（d）更新训练数据集的权值分布
Dm+1=(wm+1,1,...,wm+1,i,...,wm+1,N)
wm+1,i=wmiZmexp(−αmyiGm(xi))i=1,2,...,N这里， Zm 是规范化因子
Zm=∑i=1Nwmiexp(−αmyiGm(xi))它使 Dm+1 成为一个概率分布。
注：自已比较 Zm 与 wm+1,i 的表达式，会发现这里的 Zm 就是在对 wm+1,i 进行归一化工作。
（3）构建基本分类器的线性组合f(x)=∑m=1MαmGm(x)得到最终分类器G(x)=sign(f(x))=sign(∑m=1MαmGm(x))
注：对于增大分类错误数据的权值和分类误差计算的说明：
1、 Gm(x) 的系数
αm=12log1−ememαm 表示 Gm(x) 在最终分类器中的重要性。由 αm 的表达式可知，当 em⩽12 时， αm⩾0 ,并且 αm 随着 em 的减小而增大，所以分类误差越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。
2、计算基本分类器 Gm(x) 在加权训练数据集上的分类误差率：em=P(Gm(xi)≠yi)=∑Gm(xi)≠yiwmi,这里， wmi 表示第m轮中第i个实例的权值， ∑Ni=1=1 （因为权值利用 Zm 进行了归一化）。这表明， Gm(x) 在加权的训练数据集上的分类误差是被 Gm(x) 误分类杨蓓的权值之和，由此可以看出数据权值分布 Dm 与基本分类器 Gm(x) 的分类误差率的关系。
3、AdaBoost算法实例
下面提供一个例子帮助大家理解上面的概念。
给定如下表所示的训练数据。假设弱分类器由 x<v 或 x>v 产生，其阈值使该分类器在 训练数据集上分类误差率最低。试用AdaBoost算法学习一个强分类器
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
解：初始化数据权值分布
对m=1，
（a）在权值分布为 D1 的训练数据上，阈值v取2.5时分类误差率最低，故基本分类器为
（b）显然 序号为7、8、9数据产生了错误。 G1(x) 在训练数据集上的误差率等于将这3个数据的权值相加，即
注： I(G1(xi)≠yi) 表示当 G1(xi) 不等于 yi 时 函数I()的值为1，等于时值为0。这里只有i=7,8,9时函数I值为1，其余为0。
（c）计算 G1(x) 的系数
（d）更新训练数据的权值分布：
对m=2，
（a）在权值分布为 D2 的训练数据上，阈值v取8.5时分类误差率最低，故基本分类器为
（b）显然 序号为4、5、6数据产生了错误。 G2(x) 在训练数据集上的误差率等于将这3个数据的权值相加，即
注： I(G2(xi)≠yi) 表示当 G2(xi) 不等于 yi 时 函数I()的值为1，等于时值为0。这里只有i=4,5,6时函数I值为1，其余为0。
（c）计算 G2(x) 的系数
（d）更新训练数据的权值分布：
对m=3，
（a）在权值分布为 D3 的训练数据上，阈值v取5.5时分类误差率最低，故基本分类器为
（b）显然 序号为1、2、3、10的数据产生了错误。 G3(x) 在训练数据集上的误差率等于将这4个数据的权值相加，即
注： I(G3(xi)≠yi) 表示当 G3(xi) 不等于 yi 时 函数I()的值为1，等于时值为0。这里只有i=1,2,3,10时函数I值为1，其余为0。
（c）计算 G3(x) 的系数
（d）更新训练数据的权值分布：
于是最终分类器为：