【bzoj1096】[ZJOI2007]仓库建设 斜率优化DP

Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

原始式子列不出n^2的怎么办……我是不是没救了…

求p的前缀和sp。如果所有物品都从0开始运到i，则费用为（sp[i]-p[j]）*x[i]

但由于物品的起始点不在0，所以每个物品可以少花费x[i]*p[i]

xp[i]为x[i]*p[i]的前缀和

可得 f[i]=min(f[j]+(sp[i]−sp[j])∗x[i]−(xp[i]−xp[j])+c[i]

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int SZ = 1000010;
const int INF = 1000000010;

int n;
LL f[SZ],sp[SZ],x[SZ],c[SZ],xp[SZ],p[SZ];

double xl(int x,int y)
{
    double gx = f[x] + xp[x];
    double gy = f[y] + xp[y];
    return (gx - gy) / (double)(sp[x] - sp[y]);
}

int q[SZ],t = 0,w = 0;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
        sp[i] = sp[i - 1] + p[i];
        xp[i] = xp[i - 1] + x[i] * p[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        while(t < w && xl(q[t],q[t + 1]) < x[i]) t ++;
        int j = q[t];
        f[i] = c[i] + f[j] + (sp[i] - sp[j]) * x[i] - (xp[i] - xp[j]);
        while(t < w && xl(q[w - 1],q[w]) > xl(q[w],i)) w --;
        q[++ w] = i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}