最长递增子序列 toj 3120

最长递增子序列，首先肯定是动态规划的思想； 有两种思路；

*** 先看第一种：（复杂度O（n^2））

这种思路也是常规思路： 设置一个数组dp[ i]  来表示 以第i 个元素结尾的的最长的递增子序列 ； 然后转移方程可以这样写：

  dp[i]  =Max (1 , dp[j]+1,) 其中 j ： from 1--（i-1）; 这种思路也比较容易理解： 找出i 之前的并且末尾项比第i项小的最长的子序列的长度；附代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
    int N,list[100005],dp[100005];
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
          scanf("%d",&list[i]);
          dp[i]=list[i];
        }
        for(int i=1;i<N;i++)
        {
             int tag=-1;
             for(int j=1;j<i;j++)
              if(list[i]>list[j]&&tag<dp[j])//寻找i 前面的
              tag=dp[j];
             dp[i]=max(1,tag+1);
        }
        int m=-1;
       for(int i=1;i<=N;i++)
           if(m<dp[i]) m=dp[i];
       printf("%d\n",m);
    }
}

但是很明显可看出，复杂度略大，O（n^2） ; 我们可以想象可以优化的地方：

就是寻找第i项前面的时候， 复杂度为o（n） ， 我们可以借助一个辅助数组，来实现二分查找；

这就是第二种方法：

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

附代码：

 

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int N,a[100005],b[100005],len;
int Bin()
{
    b[0]=a[1];
    len=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        int left= 0,right=len-1;
        while(left<=right)
        {
            int mid=(left+right)/2;
            if(b[mid]<a[i]) left=mid+1;
            else right=mid-1;
        }
        b[left]=a[i];
        if(left>=len) len++;
    }
    return len;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
       for(int i=1;i<=N;i++)
           scanf("%d",&a[i]);
       Bin();
      printf("%d\n",len);
    }
}