HDU 5492 Find a path DP —— 2015 ACM-ICPC Asia Regional Hefei Online

原题见HDU 5492
给一个N*M的矩阵，从(1,1)到(N,M)经过的格点分值分别为 Ai ，(路径只能向右或向下走,共N+M-1步)。求各种路径中最小的 (N+M−1)∑N+M−1i=1(Ai−Aavg)2 .其中 Aavg为Ai的均值
N，M分别为1~30的整数， Ai 为不超过30的整数。

首先对表达式进行化简： ∑N+M−1i=1 先记为 ∑

(N+M−1)∑(Ai−Aavg)2

=(N+M−1)∑(A2i+A2avg−2AiAavg)

其中 Aavg=1N+M−1∑Ai ,则 ∑2AiAavg=2(N+M−1)A2avg

原式=(N+M−1)[(∑A2i)−(N+M−1)A2avg]

=(N+M−1)∑A2i−(∑Ai)2

设 a=∑A2i,b=∑Ai 则只要在图上的格点p[i][j]存下每个b对应的最大的a值并向右下角DP即可。其中b为不超过30*(30+30)=1800的数，故在p[i][j]上开一个大小为2000的数组c[2000]即足够存下所有状态b.使得c[b]=min{a}.

附code：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
struct node
{
    int v, a, b, c[2000];
}p[50][50];
int fac(int x)
{
    return x*x;
}
int main()
{
    int T, o = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(p, 0, sizeof(p));
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 1;j <= m;j++)
                scanf("%d", &p[i][j].v);
        p[1][1].a = fac(p[1][1].v);
        p[1][1].b = p[1][1].v;
        p[1][1].c[p[1][1].v] = fac(p[1][1].v);
        for(int j = 2;j <= m;j++)
        {
            p[1][j].a = p[1][j-1].a+fac(p[1][j].v);
            p[1][j].b = p[1][j-1].b+p[1][j].v;
            p[1][j].c[p[1][j].b] = p[1][j].a;
        }
        for(int i = 2;i <= n;i++)
        {
            p[i][1].a = p[i-1][1].a+fac(p[i][1].v);
            p[i][1].b = p[i-1][1].b+p[i][1].v;
            p[i][1].c[p[i][1].b] = p[i][1].a;
        }
        for(int i = 2;i <= n;i++)
            for(int j = 2;j <= m;j++)
                for(int k = 0;k < 2000;k++)
                {
                    if(p[i][j-1].c[k])
                    {
                        int f = k+p[i][j].v;
                        if(p[i][j].c[f])
                            p[i][j].c[f] = min(p[i][j].c[f], p[i][j-1].c[k]+fac(p[i][j].v));
                        else
                            p[i][j].c[f] = p[i][j-1].c[k]+fac(p[i][j].v);
                    }
                    if(p[i-1][j].c[k])
                    {
                        int f = k+p[i][j].v;
                        if(p[i][j].c[f])
                            p[i][j].c[f] = min(p[i][j].c[f], p[i-1][j].c[k]+fac(p[i][j].v));
                        else
                            p[i][j].c[f] = p[i-1][j].c[k]+fac(p[i][j].v);
                    }
                }
        int ans = 1000000000;
        for(int i = 0;i < 2000;i++)
            if(p[n][m].c[i])
                ans = min(ans, (n+m-1)*p[n][m].c[i]-fac(i));
        printf("Case #%d: %d\n", ++o, ans);
    }
    return 0;
}