Zernike矩
http://blog.csdn.net/wrj19860202/article/details/6334275
Zernike在1934年引入了一組定義在單位圓
上的復值函數集{
}，{
}具有完備性和正交性，使得它可以表示定義在單位圓盤內的任何平方可積函數。其定義為：
表示原點到點
的矢量長度；
表示矢量
與
軸逆時針方向的夾角。
是實值徑向多項式：
稱為Zernike多項式。
Zernike多項式滿足正交性：
其中
為克羅內克符號，
是
的共軛多項式。
由於Zernike多項式的正交完備性，所以在單位圓內的任何圖像
都可以唯一的用下面式子來展開：
式子中
就是Zernike矩，其定義為：
注意式子中
和
采用的是不同的坐標系（
采用直角坐標，而
采用的極坐標系，在計算的時候要進行坐標轉換）
對於離散的數字圖像，可將積分形式改為累加形式：
我們在計算一副圖像的Zernike矩時，必須將圖像的中心移到坐標的原點，將圖像的像素點映射到單位圓內，由於Zernike矩具有旋轉不變性，我們可以將
作為圖像的不變特征，其中圖像的低頻特征有p值小的
提取，高頻特征由p值高的
提取。從上面可以看出，Zernike矩可以構造任意高階矩。
由於Zernike矩只具有旋轉不變性，不具有平移和尺度不變性，所以要提前對圖像進行歸一化，我們采用標准矩的方法來歸一化一副圖像，標准矩定義為：
，
由標准矩我們可以得到圖像的"重心"，
我們將圖像的"重心"移動到單位圓的圓心（即坐標的原點），便解決了平移問題。
我們知道
表征了圖像的"面積"，歸一圖像的尺度無非就是把他們的大小變為一致的，（這裡的大小指的是圖像目標物的大小，不是整幅圖像的大小，"面積"也是目標物的"面積"）。
所以，對圖像進行變換
就可以達到圖像尺寸一致的目的。
綜合上面結果，對圖像進行
變換，最終圖像
的Zernike矩就是平移，尺寸和旋轉不變的。
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Zernike 不變矩相比 Hu 不變矩識別效果會好一些，因為他描述了圖像更多的細節內容，特別是高階矩，但是由於Zernike 不變矩計算時間比較長，所以出現了很多快速的算法，大家可以 google 一下。
用 Zernike 不變矩來識別手勢輪廓，識別率大約在 40%~50% 之間，跟 Hu 不變矩一樣， Zernike 不變矩一般用來描述目標物形狀佔優勢的圖像，不適合用來描述紋理豐富的圖像，對於紋理圖像，識別率一般在 20%~30% 左右，很不佔優勢。