【专题】数位DP(按位DP)

之前说过要做个专题，虽然隔了好长时间。。但说话还是算数的，把之前做的ppt翻出来贴上，好吧，我就是懒。。

(回头看看，良心发现，再补全些。。)

见识的还是少，欢迎讨论啊~~

数位DP

•问题：在给定区间 [A,B] 内，找满足要求的数。

• 要求一般和数大小无关，而与数的组成有关

• 例如，递增的， 1234,2579…

•          双峰的， 19280,26193…

•         含 49 的， 49, 149, 1492… 

•          整除 13 的， 26, 39…

• 麻烦在于，规模大，位数 >100 ，不能枚举。

•并且 区间往往不是整百整千，需要小心处理边界

• 注意

    – 记忆化搜索思路清晰

    – 开适当空间（能省则省）

    – 寻找合适的状态，简化计算量

例hdu3886

• 题目大意：给一定区间 [A,B] ，一串由 /,\,- 组成的符号串。求满足符号串的数字个数。

• / 表示数字从左到右递增

• \ 表示数字从左到右递减

• - 表示数字从左到右相等

• 例如 :

• /-\

• 1221,123455543

• 数据规模 :

• A,B<=10^100

分析

F(A,B) = F(B,0)-F(A-1,0) //区间[A,B]中符合要求的数量 = 区间[0,B]的 - 区间[0,A-1]的

因此只要考虑区间[0,num]的情况就好了

暴力+存储= 记忆化搜索

• 暴力

• 暴力枚举每一位 (0..9), 注意区间边界 ; 与符号的匹配。

•递归函数为 int dfs ( i,j,k,flag )

•表示 枚举第 i 位的数，匹配 str [j], 前一位是 k ，是否达到上限 (flag= true,false )， 返回此时符合要求的数量

•注意边界，如果 达到了上限则只能枚举 0..num[ i ] ，否则可以枚举 0..9

例如 num[] = 157, 枚举到14*时，个位可以为0..9，但是枚举到15*时，个位只能为0..7 

• 存储

• dfs ( i,j,k,flag )

• 设状态与递归参数一致 f[ i ][j][k][flag] ，表示当枚举到第 i 位的数，匹配 str [j], 前一位是 k ，是否达到上限 (flag= true,false ) 时，满足要求的数字个数。

• dfs 的过程，相当于在填充 f ， f 的空间 O(100*10*10*2) ，则 dfs 的时间 O(20000)

实现

• 1. 空间优化，只需记录 flag=false 时的值。因为 flag=true 的值只会计算一次，不是冗余计算，不用记录。

– （不一定要开和参数一样的数组，适当变换下，分成几种情况开多个数组，可以节省下内存）

• 2. 前导 0 不算数，不能和符号串匹配。特判下即可

– 如 ,-/,0003(X),0113

• 3.1234 匹配 // ，会被算成俩个。特判下即可

• 4. 个位放在 f[0][…] ，或者说157要存成num[] = 751，且只记录 flag=false 的值时， f 与数 A,B 无关！可以反复利用，对于有多组输入样例的问题速度更快

其他类型

• 整除13

• dfs ( i , m,flag)

• 枚举第 i 位数，前面枚举出的数模 13 的余数 m ，是否到达上限 flag

• 整除自身各位数CF55D

• dfs ( i , m,l, flag)

• 枚举第 i 位数，前面枚举出的数模 LCM(0..9) ， LCM( 前面枚举出的数 ) ，是否达到上限

• 包含”49”

• dfs ( i , k,find, flag)

• 枚举第 i 位数，前一位是 k ，是否已包含 ”49”(find=true,false) ，是否达到上限

• 分类讨论： 前一 位是否为 4 ，当前是否已包含“ 49 ”

部分解题报告：（习惯写在代码末尾...）

POJ 3252 Round Number
HDU 3709 Balanced Number
HDU 3652 B-number
codeforce 55D Beautiful numbers

写到后来发现这已经成了模板题了，遇到问题，不用想太仔细，直接套上模板，快速、简单、准确。