网络最大流 — Edmond Karp算法

Edmond Karp算法的大概思想：

反复寻找源点s到汇点t之间的增广路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]的最小值delta，若无，则结束。

在寻找增广路径时，可以用BFS来找，并且更新残留网络的值(涉及到反向边)。

而找到delta后，则使最大流值加上delta，更新为当前的最大流值。

(粗体表明需要掌握的概念)

 

关于反向边：

以下摘至HDOJ的课件和网上的：

首先来看一下基本的网络流最大流模型。

有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。

把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。

比如这个图。每条边旁边的数字表示它的容量。

下面我们来考虑如何求最大流。

首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。

我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值 delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。

这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。

我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。

寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的delta量，直到找到源点或者找不到增广路。

这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。

先来看看BFS部分的代码（C/C++实现）：

1 // 用BFS来判断从结点s到t的路径上是否还有delta
2 // 即判断s,t之间是否还有增广路径，若有，返回1
3 bool BFS(int s, int t)
4 {
5     queue<int> que;
6     memset(pre, -1, sizeof(pre));
7     memset(vis, false, sizeof(vis));
8
9     pre[s] = s;
10     vis[s] = true;
11     que.push(s);
12
13     int p;
14     while(!que.empty())
15     {
16         p = que.front();
17         que.pop();
18         for(int i=1; i<=M; ++i)
19         {
20             if(r[p][i]>0 && !vis[i])
21             {
22                 pre[i] = p;
23                 vis[i] = true;
24                 if(i == t)  // 存在增广路径
25                     return true;
26                 que.push(i);
27             }
28         }
29     }
30     return false;
31 }

但事实上并没有这么简单，上面所说的增广路还不完整，比如说下面这个网络流模型。

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。

但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。

而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的：

在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时，inc(c[y,x],delta)

我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下

这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。

那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。

事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。

这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。

至此，最大流Edmond-Karp算法介绍完毕。

 

Edmond Karp算法具体实现(C/C++):

1 /**
2  * Edmond Karp
3  * Max Flow
4  * by Tanky Woo @ www.wutianqi.com
5  */
6
7 #include <iostream>
8 #include <queue>
9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 const int msize = 205;
12
13 int N, M;   // N--路径数, M--结点数
14 int r[msize][msize];  //
15 int pre[msize];  // 记录结点i的前向结点为pre[i]
16 bool vis[msize]; // 记录结点i是否已访问
17
18 // 用BFS来判断从结点s到t的路径上是否还有delta
19 // 即判断s,t之间是否还有增广路径，若有，返回1
20 bool BFS(int s, int t)
21 {
22     queue<int> que;
23     memset(pre, -1, sizeof(pre));
24     memset(vis, false, sizeof(vis));
25
26     pre[s] = s;
27     vis[s] = true;
28     que.push(s);
29
30     int p;
31     while(!que.empty())
32     {
33         p = que.front();
34         que.pop();
35         for(int i=1; i<=M; ++i)
36         {
37             if(r[p][i]>0 && !vis[i])
38             {
39                 pre[i] = p;
40                 vis[i] = true;
41                 if(i == t)  // 存在增广路径
42                     return true;
43                 que.push(i);
44             }
45         }
46     }
47     return false;
48 }
49
50 int EK(int s, int t)
51 {
52     int maxflow = 0, d;
53     while(BFS(s, t))
54     {
55         d= INT_MAX;
56         // 若有增广路径，则找出最小的delta
57         for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
58             d = min(d, r[pre[i]][i]);
59         // 这里是反向边，看讲解
60         for(int i=t; i!=s; i=pre[i])
61         {
62             r[pre[i]][i] -= d;
63             r[i][pre[i]] += d;
64         }
65         maxflow += d;
66     }
67     return maxflow;
68 }
69
70 int main()
71 {
72     while(cin >> N >> M)
73     {
74         memset(r, 0, sizeof(r));
75         int s, e, c;
76         for(int i=0; i<N; ++i)
77         {
78             cin >> s >> e >> c;
79             r[s][e] += c;   // 有重边时则加上c
80         }
81
82         cout << EK(1, M) << endl;
83     }
84     return 0;
85 }

注：以上代码可直接套用HDOJ 1532 ( Drainage Ditches ) 和HDOJ 3549 （Flow Problem）。完毕

Date: 2012.1.19 @ Home By Tanky Woo

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