题目大意:
就是现在给出3个整数 a , b , c
其中 a <= b <= c , a, b 在int 范围内, c 在 long long 的范围内
问是否存在非负整数 x ,y 使得 a*x + b*y = c 成立, 若存在则输出 x + y 最小的那一组 x, y
大致思路:
首先需要知道扩展欧几里得算法可以求出使得 a*x + b*y = gcd(a, b)成立的一个解 x0, y0
并且有这样的一个结论:
对于整数c, 如果c 是 gcd(a, b)的倍数, 则a*x + b*y = c 有解,比如 x0*(c / gcd(a,b) , y0*(c / gcd(a, b))
如果c不是gcd(a, b) 的倍数, 则a*x + b*y = c无解
那么使用扩展欧几里得算法求出了一个解 x0, y0 之后也算出了gcd(a,b)可以先判断一下c是否是gcd(a, b) 的倍数,之后由于欧几里得算法得到的这个解 x0, y0 不保证其都是非负数,那么为了调整解, 由于输入的 a,b,c是递增的, 可以发现x0要最小才能x + y 最小, 也就是说要找到最接近于零的那个非负数x
由于a*x0 + b*y0 = gcd(a,b)所以对于 a*x0 + b*y0 = c来说其解为:
x0*(c / gcd(a, b)) y0*(c / gcd(a, b))
现在有这样一种调整的方法:
由于x1, x2是方程a*x1 + b*x2 = c 的解, 不难发现 a*(x1 + b) - b*(y1 - a) = c也成立,也就是说 x1 + k*b , y1 - k*a也是其解
那么久可以调整得到的解使得x最接近零且不为负也就是对于调整至正数之后对b取模即可
这里还有一个问题就是要防止溢出,在下面的代码中也用到了一点处理
这道题最后就是注意一下输出格式问题吧。
代码如下:
Result : Accepted Memory : 0 KB Time 6 ms
/* * Author: Gatevin * Created Time: 2014/8/2 20:05:11 * File Name: test.cpp */ #include<iostream> #include<sstream> #include<fstream> #include<vector> #include<list> #include<deque> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<set> #include<bitset> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cctype> #include<cmath> #include<ctime> #include<iomanip> using namespace std; const double eps(1e-8); typedef long long lint; lint a,b,c; lint Ex_gcd(lint a, lint b, lint& x, lint& y) { if(b == 0) { x = 1, y = 0; return a; } else { lint r = Ex_gcd(b, a % b, y, x); y -= x*(a / b); return r; } } int main() { while(cin>>a>>b>>c, a + b + c) { lint x, y; lint g = Ex_gcd(a, b, x, y); if(c % g) { cout<<"Unquibable!"<<endl; continue; } if(x < 0) { lint tmp = - (x / b); x += tmp*b + b; } a /= g;//防止数据溢出 b /= g; c /= g; x = ( ((x % b)*(c % b)) % b );//取模范围之前处理之后变小了 y = (c - a*x) / b; if(y < 0) { cout<<"Unquibable!"<<endl; } else { if(x == 1) { cout<<"1 foom and "; } else { cout<<x<<" fooms and "; } if(y == 1) { cout<<y<<" foob for a twob!"<<endl; } else { cout<<y<<" foobs for a twob!"<<endl; } } } return 0; }