天平称球

天平称球问题的推广

有个人在死理性派小组问起来了，我就把我以前在bbs上的发帖子整理了一下发出来。低调地给出 来源。

　　天平秤球这个问题的各种版本在很多年以前就流传开了，我在2010年的时候曾经总结过一个结论比较强的版本：

　　假设有13个外形完全一样的球，其中12个等重，剩下一个重量和其他的球不同，既可能更轻又可能更重。
1.能否用天平称3次找出那个重量不同的球；
2.能否用天平称3次找出那个重量不同的球，并且获知那个球比其他的球更轻还是更重
能则给出方案，不能则证明


　　第一个问题的解非常简单，答案是肯定的，网上可以搜到称量方法。

　　第二个问题的答案是否定的，我们可以从信息论的角度证明这个问题：

　　每次称量的结果只有可能是“天平左倾”，“天平右倾”和“平衡”三种结果，秤三次最多只可能区分27种可能，秤两次最多只可能区分9种可能，秤一次最多只可能区分3种可能。假设第一次称重的时候往天平左边放a个球，右边放a个球(如果放的球数目不等将有可能使得称重结果没有意义)，余下(13-2a)个球。
当a≥5时，如果天平不平衡，将余下2a种可能性(较轻的a个球中有一个轻球，或者较重的a个球有一个重球)，2a≥10，也就是不可能至多再秤两次确定是哪种可能；
当a≤4时，如果天平平衡，将余下至少5个球，也就是10种可能性(至少5个球，每个球或轻或重)，同样不可能至多再秤两次确定是哪种可能。
　　所以，第二个问题是不可行的。

但是，如果我们能够借到一个一定是标准重量的“标准球”，那么第二个问题就是可解的了。我们还能够证明，因为3次称量最多能区分27种可能性，第二个问题可解的球数目的上限是13，

下面我们考虑这个推广版的问题：

　　假设有n个外形完全一样的球，其中(n-1)个等重，剩下一个重量和其他的球不同，既可能更轻又可能更重。
1.如果能够用天平称k次找出那个重量不同的球，那么n最大是多少？
2.能否用天平称k次找出那个重量不同的球，并且获知那个球比其他的球更轻还是更重，那么n最大是多少？

可以证明，第一个问题中n=1/2(3^k−1)，第二个问题中n=1/2(3^k−3)。我对此有绝妙的证明，但这篇blog篇幅有限写不下。(你以为你是费马吗啊喂！！！)

证明思路如下，依次证明引理：
引理一：
如果有m个球或者是标准或者比标准重，以及n个球或者是标准或者比标准轻以及至少1个标准球，则k次称量能够确定是哪个球的充要条件是：
m+n≤3^k

引理二：
如果有n个球不知道是标准重量还是更轻还是更重，以及至少1个标准球，则k次称量能够确定是哪个球的充要条件是：
n≤1/2(3^k+1)

引理三：
如果有n个球不知道是标准重量还是更轻还是更重，以及至少1个标准球，则k次称量能够确定是哪个球，以及这个球是更轻还是更重的充要条件是：
n≤1/2(3^k−1)
引理一的充分性证明思路是：
令m=3i+j, n=3k+r。每边放i个可能重的，k个可能轻的，然后j，r=0，1，2总共9种可能，分类讨论一下可以递归解决。
必要性是显然的。
引理二的充分性证明思路是：
(3^k+1)/2个球，第一次(3^(k-1)+1)/2个球放左边，(3^(k-1)-1)/2个苹果加上标准苹果放右边，还余下(3^(k-1)+1)/2个第一次称量结束，要么平衡可以用递归证明，要么不平衡用引理证明。
引理三的充分性证明思路同理，区别在于余下(3^(k-1)-1)/2个球。
引理三的必要性证明思路与上面那个问题二相同
引理二的比较性证明就麻烦一些，不过思路还是类似。如果第一次称量不平衡要利用引理一，平衡的话递归。

最终两个问题的证明都需要单独讨论第一次称量，因为没有标准球可以借，并且数目比引理中少一，然后就可以利用引理的结论，通过类似的思路证明。

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ps：附带13个球秤3次的方法
1234和5678比较
(1) 平衡，说明1-8是好的。拿8 9和10 11比较
(1.1) 平衡，说明9 10 11是好的。拿11和12比，平衡说明13坏，不平衡12坏
(1.2) 左重，说明9重或者10 11轻。拿9 10和1 2比，左重说明9重，右重说明10轻，平衡说明11轻
(1.3) 右重，(1.2)反过来
(2) 左重，说明1234重，或者5678轻。拿1 2 6和3 4 5比
(2.1) 平衡，说明7轻或8轻，拿1和7比一下就行
(2.2) 左重，说明1重或2重或5轻，拿1和2比一下左：1重，右：2重，平衡：5轻
(2.2) 右重，说明3重或4重或6轻，拿3和4比一下左：3重，右：4重，平衡：6轻
(3)右重，(2)反过来

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