LeetCode----Maximum Subarray
Maximum Subarray
Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.
For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.
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If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.
求数组的子数组之和的最大值。这题曾经在编程之美上看到过，直接给出书上的思路和解法。
解法一：
直接法，记Sum[i, ..., j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和，遍历所有可能的Sum[i, ..., j]，其中Sum[i, ..., j] = Sum[i, ..., j - 1] + A[j]. 其时间复杂段为O(n^2)
代码：
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
n = len(nums)
maxsum = -10000000
i = 0
while i < n:
csum = 0
j = i
while j < n:
csum += nums[j]
if csum > maxsum:
maxsum = csum
j += 1
i += 1
return maxsum
解法二：
分治法，将数组(A[0], A[1], ..., A[n - 1])分为长度相等的两段数组(A[0], ..., A[n/2 - 1])和(A[n/2], ..., A[n - 1])，分别求出这两段数组各自的最大子段和，则原数组(A[0], A[1], ..., A[n - 1]的最大子段和为以下三种情况下的最大值：
1. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和与(A[0], A[1], ..., A[n/2 - 1])的最大子段和相同；
2. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和与(A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和相同；
3. (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大子段和跨过A[n/2 - 1]和A[n/2]
第1和2两种情况可以根据递归可得，对于第3种情况，我们要找到以A[n/2 - 1]结尾的和最大的一段数组之和s1 = (A[0], A[1], ..., A[n/2 - 1]) (0<=i<n/2 - 1)和以A[n/2]开始的最大的一段数组之和s2 = (A[n/2], ..., A[j]) (n/2 <= j < n).那么第三种情况的最大值为s1 + s2 = A[i] + ... + A[n/2 - 1] + A[n/2] + ... + A[j]，只需要对原数组进行一次遍历即可。
其时间复杂段为O(n*logn).
代码：
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
return self.findMaxSubArray(nums, 0, len(nums) - 1)
def findMaxCrossSubarray(self, nums, low, mid, high):
# 跨越
INIFINITE = -1000000
left_sum = INIFINITE
csum = 0
i = mid
'''
计算以A[n/2 - 1]为结尾的最大的一段子数组之和
'''
while i >= low:
csum += nums[i]
if csum > left_sum:
left_sum = csum
i -= 1
right_sum = INIFINITE
csum = 0
i = mid + 1
'''
计算以A[n/2]开始的最大的一段子数组之和
'''
while i <= high:
csum += nums[i]
if csum > right_sum:
right_sum = csum
i += 1
return left_sum + right_sum
def findMaxSubArray(self, nums, low, high):
if low == high:
return nums[low]
else:
mid = (low + high) / 2
left = self.findMaxSubArray(nums, low, mid)
right = self.findMaxSubArray(nums, mid + 1, high)
cross = self.findMaxCrossSubarray(nums, low, mid, high)
return max(left, cross, right)
解法3：
动态规划法。考虑数组的第一个元素A[0]，以及最大的一段数组(A[i], ..., A[j])跟A[0]之间的关系，有以下几种情况：
1. 当0 = i = j时，元素A[0]本身构成和最大的一段；
2. 当0 = i < j时，和最大的一段以A[0]开始；
3. 当0 < i时，元素A[0]跟和最大的一段没有关系。
从上面三种情况可以看出，可以将一个大问题（n个元素的数组）转化为一个较小的问题（n - 1个元素的数组）。
设(A[1], ..., A[n - 1])中的最大一段数组之和为All[1]，设(A[1], ..., A[n - 1])中包含A[1]的最大一段数组为Start[1]。
则 (A[0], A[1], ..., A[n - 1])的最大一段数组之和All[0]为max{A[0], A[0] + Start[1], All[1]}.
时间复杂度为O(n).
代码：
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
n = len(nums)
start = [0] * n
start[n - 1] = nums[n - 1]
All = [0] * n
All[n - 1] = nums[n - 1]
i = n - 2
while i >= 0:
start[i] = max(nums[i], nums[i] + start[i + 1])
All[i] = max(start[i], All[i + 1])
i -= 1
return All[0]
由于start[i] = max(nums[i], nums[i] + start[i + 1])中，如果start[i + 1] < 0，则start[i] = A[i]. 而且，在这两个递推式中，start[i + 1]只有在计算start[i]时使用，而All[j + 1]也只有在计算All[k]时使用。所以可以只使用两个变量即可。空间复杂度变为O(1).
代码：
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
n = len(nums)
nstart = nums[n - 1]
nAll = nums[n - 1]
i = n - 2
while i >= 0:
nstart = max(nums[i], nums[i] + nstart)
nAll = max(nstart, nAll)
i -= 1
return nAll