[省选前题目整理][BZOJ 3675][APIO 2014]序列分割(斜率优化DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3675

思路

首先设 f[i][k]=长度为i的序列，划分了k次 得到的分数, sum[i]=∑it=1At ,即序列 A 的前缀和
很容易推出DP方程：

f[i][k]=max{f[j][k−1]+sum[j](sum[i]−sum[j])}

变化一下

f[i][k]=max{f[j][k−1]+sum[i]sum[j]−sum[j]2)}

设DP到 f[x][k+1] ， f[x][k]比f[y][k] 优( x<y )，则

f[x][k]+sum[i]sum[x]−sum[x]2−f[y][k−1]−sum[i]sum[y]+sum[y]2>0

(f[x][k]−sum[x]2)−(f[y][k]−sum[y]2)sum[y]−sum[x]>sum[i]

因此我们可以维护一个单调队列，保证队首的f是最优的。那么若 q[h]和q[h+1] 连线斜率小于 sum[i] 则说明 q[h+1]比q[h] 优，弹掉 q[h] ，并时刻维护一个斜率单调递增的单调队列

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 110000

using namespace std;

typedef long long int LL;

int q[MAXN],n,m;
LL f[MAXN][2],sum[MAXN];

double getSlope(int x,int y,int now)
{
    return (double)((f[x][now]-sum[x]*sum[x])-(f[y][now]-sum[y]*sum[y]))/(sum[y]-sum[x]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=sum[i];
    int now=1;
    for(int j=1;j<=m;j++) //划分j次
    {
        now^=1;
        int h=1,t=1;
        q[h]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) //前i个元素
        {
            while(h<t&&getSlope(q[h],q[h+1],now^1)<sum[i]) h++;
            f[i][now]=f[q[h]][now^1]+sum[q[h]]*(sum[i]-sum[q[h]]);
            while(h<t&&getSlope(q[t-1],q[t],now^1)>getSlope(q[t],i,now^1)) t--;
            q[++t]=i;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n][now]);
    return 0;
}