[省选前题目整理][BZOJ 1010][HNOI 2008]玩具装箱toy(斜率优化DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

思路

很容易想到一个 O(n2) 的DP方程：

f[i]=min{f[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2},j<i

其中 sum[x]=∑xi=1Ci
为了方便起见，我们让 sum[x]=∑xi=1(Ci+1),L=L+1
那么原方程变为了

f[i]=min{f[j]+(sum[i]−sum[j]−L)2},j<i

设 f[x]比f[y] 更优，则：

f[x]+sum[x]2−2sum[x](sum[i]−L)−f[y]−sum[y]2−2sum[y](sum[i]−L)<0

(f[x]+sum[x]2)−(f[y]+sum[y]2)sum[x]−sum[y]<2(sum[i]−L)

因此若队首的q[h+1]和q[h]连线斜率小于 2(sum[i]−L) ，即说明q[h+1]比q[h]优，弹出q[h]。而维护单调队列时，我们只需要维护一个斜率单调递增的上凸壳即可。。。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 50100

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL f[MAXN],sum[MAXN],q[MAXN]; //sum[i]=前i个玩具C之和

double getSlope(int x,int y)
{
    return (double)((f[x]+sum[x]*sum[x])-(f[y]+sum[y]*sum[y]))/(sum[x]-sum[y]);
}

int main()
{
    int n,L;
    scanf("%d%d",&n,&L);
    L++;
    int h=1,t=1;
    q[h]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
        sum[i]++;
    }
    //for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h<t&&getSlope(q[h],q[h+1])<2*(sum[i]-L)) h++;
        f[i]=f[q[h]]+(sum[i]-sum[q[h]]-L)*(sum[i]-sum[q[h]]-L);
        while(h<t&&getSlope(q[t-1],q[t])>getSlope(q[t],i)) t--;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}