第二类Stirling数

Ⅴ.第二类Stirling数

在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。

【定义2】n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。

下面就让我们根据定义2来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。

解：设有n个不同的球，分别用b₁,b₂,……b_n表示。从中取出一个球b_n，b_n的放法有以下两种：

①b_n独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为S₂(n-1,m-1)；

②b_n与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b₁,b₂,……b_n-1这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球b_n可以放入其中一个盒子中，方案数为mS₂(n-1,m)。

综合以上两种情况，可以得出第二类Stirling数定理：

【定理】S₂(n,m)=mS₂(n-1,m)+S₂(n-1,m-1)   (n>1,m>1)

边界条件可以由定义2推导出：

S₂(n,0)=0；S₂(n,1)=1；S₂(n,n)=1；S₂(n,k)=0(k>n)。     

第二类Stirling数在竞赛中较少出现，但在竞赛中也有一些题目与其类似，甚至更为复杂。读者不妨自己来试着建立其中的递推关系。