第二类Stirling数
Ⅴ.第二类Stirling数
在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。
【定义2】n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。
下面就让我们根据定义2来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。
解：设有n个不同的球，分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn，bn的放法有以下两种：
①bn独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为S2(n-1,m-1)；
②bn与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中，然后再将球bn可以放入其中一个盒子中，方案数为mS2(n-1,m)。
综合以上两种情况，可以得出第二类Stirling数定理：
【定理】S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1) (n>1,m>1)
边界条件可以由定义2推导出：
S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。
第二类Stirling数在竞赛中较少出现，但在竞赛中也有一些题目与其类似，甚至更为复杂。读者不妨自己来试着建立其中的递推关系。