【bzoj3675】[Apio2014]序列分割 单调队列+斜率优化

f[i][k]表示前i个元素分成k块的最大分数
f[i][k]=max{f[j][k-1]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]} (1<=j<i)
考虑最终的答案得到的方式
每次分裂之后，得到两边的和的乘积
那么，其实第k个块的贡献就是这个块与前面k-1个块的乘积
f[i][1]=0
f[i][k]以下简称f[i]
f[i]=f[j]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]
f[j]-sum[j]*sum[j]=-sum[j]*sum[i]+f[i]
f[i]表示过点(sum[j],f[j]-sum[j]^2)的斜率为-sum[i]的直线在y轴上的截距
要求f[i]最大，所以需要维护上凸壳
sum[i]是单调递增的，所以每次都只会在队尾增加点
询问的斜率是单调递减的，所以答案一定是单调向右移

用单调队列来维护上凸壳，每次在队尾增加一个点，然后从队首删除所有小于等于询问的斜率的点

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define maxn 100010
#define inf 1000000000000000000ll

using namespace std;

struct yts
{
	long long x,y;
	int id;
}q[maxn];

long long f[210][maxn];
int g[210][maxn];
long long sum[maxn];
int n,m,K;

double slope(yts x,yts y)
{
	if (y.x==x.x) return inf;
	return (y.y-x.y)/(double)(y.x-x.x);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&K);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		long long x;
		scanf("%lld",&x);
		sum[i]=sum[i-1]+x;
	}
	for (int k=1;k<=K;k++)
	{
		int l=1,r=0;
	  	for (int i=k;i<=n;i++)
	  	{
	  		if (i>k)
			{
				while (r>l && slope(q[l],q[l+1])>=-sum[i]) l++;
				f[k][i]=f[k-1][q[l].id]+(sum[i]-sum[q[l].id])*sum[q[l].id];
				g[k][i]=q[l].id;
			}
			yts x;
			x.x=sum[i],x.y=f[k-1][i]-sum[i]*sum[i],x.id=i;
	  		while (r>l && slope(q[r],q[r-1])<=slope(x,q[r])) r--;
	  		q[++r]=x;
	  	}
	}
	printf("%lld\n",f[K][n]);
	int x=g[K][n];
	for (int i=K;i>1;i--)
	{
		printf("%d ",x);
		x=g[i-1][x];
	}
	printf("%d\n",x);
	return 0;
}