博弈问题之Nim游戏

描述

今天我们要认识一对新朋友，Alice与Bob。 
Alice与Bob总是在进行各种各样的比试，今天他们在玩一个取石子的游戏。 
在这个游戏中，Alice和Bob放置了N堆不同的石子，编号1..N，第i堆中有A[i]个石子。 
每一次行动，Alice和Bob可以选择从一堆石子中取出任意数量的石子。至少取1颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。 
Alice和Bob轮流行动，取走最后一个石子的人获得胜利。 
假设每一轮游戏都是Alice先行动，请你判断在给定的情况下，如果双方都足够聪明，谁会获得胜利？

PS：找了一个比较优美的题面

讨论

这是一个古老而又经典的博弈问题：Nim游戏。

Nim游戏是经典的公平组合游戏(ICG)，对于ICG游戏我们有如下定义： 
1、两名选手； 
2、两名选手轮流行动，每一次行动可以在有限合法操作集合中选择一个； 
3、游戏的任何一种可能的局面(position)，合法操作集合只取决于这个局面本身；局面的改变称为“移动”(move)。 
4、若轮到某位选手时，该选手的合法操作集合为空，则这名选手判负。

对于第三条，我们有更进一步的定义Position，我们将Position分为两类： 
P-position：在当前的局面下，先手必败。 
N-position：在当前的局面下，先手必胜。

他们有如下性质： 
1.合法操作集合为空的局面是P-position； 
2.可以移动到P-position的局面是N-position； 
3.所有移动都只能到N-position的局面是P-position。

在这个游戏中，我们已经知道A[] = {0,0,…,0}的局面是P局面，那么我们可以通过反向枚举来推导出所有的可能局面，总共的状态数量为A[1]A[2]…*A[N]。并且每一次的状态转移很多。 
虽然耗时巨大，但确实是一个可行方法。

当然，我们这里会讲这个题目就说明肯定没那么复杂。没错，对于这个游戏有一个非常神奇的结论：

对于一个局面，当且仅当A[1] xor A[2] xor … xor A[N] = 0时，该局面为P局面。

对于这个结论的证明如下： 
1. 全0状态为P局面，即A[i]=0，则A[1] xor A[2] xor … xor A[N] = 0。 
2. 从任意一个A[1] xor A[2] xor … xor A[N] = k != 0的状态可以移动到A[1] xor A[2] xor … xor A[N] = 0的状态。由于xor计算的特殊性，我们知道一定有一个A[i]最高位与k最高位的1是相同的，那么必然有A[i] xor k < A[i]的，所以我们可以通过改变A[i]的值为A[i]’，使得A[1] xor A[2] xor … xor A[i]’ xor … xor A[N] = 0。 
3. 对于任意一个局面，若A[1] xor A[2] xor … xor A[N] = 0，则不存在任何一个移动可以使得新的局面A[1] xor A[2] xor … xor A[N] != 0。由于xor计算的特殊性，我们可以知道，一定是存在偶数个1时该位置的1才会被消除。若只改变一个A[i]，无论如何都会使得1的数量发生变化，从而导致A[1] xor A[2] xor … xor A[N] != 0。 
以上三条满足ICG游戏中N,P局面的转移性质，所以该结论的正确性也得到了证明。

注

以上内容转自http://www.cnblogs.com/easonliu/p/4472541.html