[省选前题目整理][BZOJ 1022][SHOI 2008]小约翰的游戏John(Anti-SG博弈)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1022

思路

一般的nim取石子都是最先取不到石子的人输，而这题恰好相反：最后取石子的人输。

显然每个游戏者都会想方设法只留1个石子给对手最后取。因此可以总结最后成为必败态的局面的情况：只有1个石子。

那么我们在分析这个博弈游戏时，就要考虑两个问题：1、当前局面是否是单一游戏(只剩下一堆石子) 2、每个堆是否只有1个石子。

于是可以组合出下面四种情况进行讨论(设当前局面SG函数为 SG )

A、当前局面只剩下一堆石子，并且只剩下一个石子了 显然是必败态
B、当前局面有多堆石子，每个堆只有1个石子。显然此时若堆的个数为奇数则后手必胜，偶数则先手必胜。
C、当前局面只剩下一堆石子，这个堆有多个石子。显然先手胜
D、当前局面有多堆石子，存在有多个石子的堆。

首先考虑特殊情况A、B,可以总结为：所有石子堆的石子个数均为1，显然此时若堆的个数为奇数则后手必胜，偶数则先手必胜。(不存在子游戏 SG′>1 , SG=0 则先手胜， SG!=0 则后手胜)

然后考虑C与一般情况D：有些石子堆的石子个数大于1，此时若所有堆的SG值的亦或和为0，则后手胜，否则先手胜。
(存在子游戏 SG′>1 , SG=0 则后手胜， SG!=0 则先手胜)

证明：假设当前只有一个石子堆的石子个数大于1，此时所有堆的SG值的亦或和为1，先手可以通过一次操作将这个唯一的石子个数大于1的堆的二进制表示变成奇数个1；假设当前有多个石子堆的石子个数大于1，此时所有堆的SG值的亦或和为1，先手可以通过一次操作将 SG 变为0，并有子游戏 SG′>1 。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 1000

using namespace std;

int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int xorsum=0;
        bool flag=false;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(x>1) flag=true;
            xorsum^=x;
        }
        if(!flag)
        {
            if(n%2==1)
                printf("Brother\n");
            else
                printf("John\n");
        }
        else
        {
            if(xorsum)
                printf("John\n");
            else
                printf("Brother\n");
        }
    }
    return 0;
}