卡特兰数 Catalan数

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卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡塔兰数的一般项公式为                       另类递归式:  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几项为 (OEIS中的数列A000108): 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

[编辑]性质

Cn的另一个表达形式为 所以,Cn是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)

卡塔兰数满足以下递推关系

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。(这可以用n!的斯特灵公式来证明。)

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

[编辑]应用

组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用Cn=3和Cn=4举若干例:

  • Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
  • 将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
  • Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

                                                                      

  • Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。(一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。)

证明:

令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个,下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。

从而。证毕。

  • Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发,在格点右上角结束,每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数: X代表“向右”,Y代表“向上”。下图为n = 4的情况:
  •                                                                         卡特兰数 Catalan数_第1张图片
  • Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况:

                                                                                 卡特兰数 Catalan数_第2张图片

  • Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下:令w = unv,其中nw的最大元素,uv为更短的数列;再令S(w) =S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
  • Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数,其中每个段落的长度为2。综合这两个结论,可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
  • Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

                                                                                          卡特兰数 Catalan数_第3张图片



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简介

  中文:卡特兰数
  Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 ( 1814 1894 )命名。
  原理:
  令h(
0 ) = 1 ,h( 1 )= 1 ,catalan数满足递归式:
  h(n)
=  h( 0 ) * h(n - 1 +  h( 1 ) * h(n - 2 +    +  h(n - 1 )h( 0 ) (其中n >= 2 )
  该递推关系的解为:
  h(n)
= C(2n,n) / (n  +   1 ) (n = 1 , 2 , 3 ,)
       另类递归式:  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
  
  前几项为 (OEIS中的数列A000108): 
1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 2674440 9694845 35357670 129644790 477638700 1767263190 6564120420 24466267020 91482563640 343059613650 1289904147324 4861946401452
应用

  我总结了一下,最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)
1 .括号化问题。

  矩阵链乘: P
= a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
2 .出栈次序问题。

  一个栈(无穷大)的进栈序列为1,
2 , 3 ,..n,有多少个不同的出栈序列 ?
  类似:
  (
1 )有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
  (
2 )在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3 .将多边行划分为三角形问题。

  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数
?
  类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
  从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
  类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数
?
4 .给顶节点组成二叉树的问题。

  给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?
  (一定是二叉树
!
  先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N
- 1个相对应的,右边是N - 1到0个,两两配对相乘,就是h( 0 ) * h(n - 1 +  h( 2 ) * h(n - 2 +    +  h(n - 1 )h( 0 ) = h(n))
  (能构成h(N)个)


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