http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1249
一道很好的组合数学题,虽然组合数学没学到多少东西,但看懂这道题,还好,很好很强大!
这道题开始我也不知道做,看了别人代码才知道所以然,开始连图都不会画!
回来回想起《组合数学》 卢开澄版 书上在递推一节中讲到了,有关直线,椭圆的相交分割区域问题。
很好很强大! 让我进一步加深了对这道题及这一类题的理解。故引用一下我的理解:
一、N条直线将平面分割成多少个区域? 先让我们简单的理解一下:
当n=1的时候,s(1)=2; 当n=2的时候,s(2)=4; 当n=3的时候,s(3)=7; 当n=4的时候,s(4)=11;
问题分析的基本思路是:当n=2的时候,新增的那条直线与原来的直线有了一个交点,新直线被这个交点分成了两段,
每一段就与一个区域对应了。(这样的解释比较不严谨,但我想大家还是能懂的意思的)。同样,当n=3 的时候,
新增的那条直线又与原来的2条直线相交,与原来的每条直线产生了一个交点,共两个。此时,
这两个交点又将新的直线分成了三段,每一段对应了一个区域,因此就在S(2)的基础上又增加了三个区域;
同理n=4; 数学的简单过程 n=1;S(1)=2; n=2; S(2)=S(1)+2 ; n=3; S(3)=S(2)+3; n=4; S(4)=S(3)+4;
注意的是:直线与平面分割成的区域,只是有界线的,但不是完全封闭的那种,这与椭圆,三角形的情况不一样,
二、N个椭圆将平面分割成多少个区域? 先从简单的入手:
当n=1时;S(1)=2; 当n=2; S(2)=4; 当n=3时,S(3)=8; 当n=4时,S(4)=14;
问题分析的基本思路:当n=2时,新增的椭圆与原有的椭圆产生了两个交点,这两个交点也伴随着两个椭圆的各自一段劣弧,这两个劣弧将各自的椭圆,分成了两个封闭的区域(这里跟直线的情况不同)。(椭圆相交一般有两个交点)两个交点对应了两段弧,两段弧对应了两个新增的区域。故S(2)=S(1)+2*1;
当n=3时,新增的椭圆与原有的两个椭圆产生了四个交点,即又有四段弧,也四个新增的区域;S(3)=S(2)+2*2 ;同理n=4;
通过上面的两个题目,可以知道:我们在处理这类题上的时候,我们是抓住了新增的图形与原有的图形 增加的交点数,对应了相应的 弧的数目,从而知道增加区域的情况;
三、N个三角形将平面分割成多少区域?先成简单的情况入手:
当n=1时,S(1) = 2; 当n=2时,S(2) = 8; 当n=3时,S(3)=20; 当n=4时,S(3)=20;当n=4时,S(4)=38:
当n=2时,新增的三角形与原有的三角形有了六个交点,即每条边两个交点,也就产生了六个新增的区域:同理n=3,4..;
由于作图比较难,所以就不画出来了。大家可以自己动手做。
这类总结一下:对于这类题目,我们先从简单的入手,抓住新增的图形与原有的图形产生的点的个数,从而找到与新增的区域的个数的关系!
#include<cstdio> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<string> #include<map> #include<cmath> #include<iostream> #include <queue> #include <stack> #include<algorithm> #include<set> using namespace std; #define INF 1e8 #define eps 1e-8 #define LL long long #define maxn 2 #define mol 1000000007 int main() { int t,n; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d",&n); printf("%lld\n",3*n*(n-1)+2); } return 0; }