域（转）

定义 1

域是交换性除环。

[编辑]定义 2

域是一种交换环 (F, +, *)，当中加法单位元（0）不等于乘法单位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。

[编辑]定义 3

域明确的满足如下性质：

在加法和乘法上封闭 

对所有属于F的 ， 和 属于F（另一种说法：加法和乘法是F上的二元运算）。

加法和乘法符合结合律 

对所有属于F的 ， ，

加法和乘法符合交换律 

对所有属于F的 ,  ，

符合乘法对加法的分配律 

对所有属于F的 ，

存在加法单位 

在F中有元素0，使得所有属于F的 ，

存在乘法单位 

在F中有不同于0的元素1，使得所有属于F的 ，

存在加法逆元 

对所有属于F的 ，存在 使得

存在乘法逆元 

对所有 ，存在元素 使得

其中0 ≠ 1 的要求排除了没有什么意义的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论:

−( a * b) = (− a) * b =  a * (− b)

a * 0 = 0

如果 a * b = 0 ，则要么 a = 0 ，要么 b = 0

例子

• 常见的数域都是域。比如说，全体复数的集合对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合也是一个域，它是的子域，并且不包含更小的子域了。

• 代数数域: 代数数域是有理数域的有限扩域，也就是说代数数域是上的有限维矢量空间。代数数域都同构于的子域，并且这个同构保持不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。

• 代数数构成的域：所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域，记作。是有理数域的代数闭包(见下)。是特征为零的代数封闭的域的一个例子。

• 全体实数的集合对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域的子域，也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。

• 所有的实代数数的集合也构成一个域，它是的一个子域。

• 任意一个有限域的元素个数是一个素数 q 的乘方，一般记作 F_q ，就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数 q 的域都同构于 Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1} 。令 p = 2, 就得到最小的域：F₂ 。F₂ 只含有两个元素 0 和 1运算法则如下：

     ⊕  0  1        ∧  0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1

• 设 E 和 F 是两个域， E 是 F 的子域，则 F 是 E 的 扩域。设 x 是 F 中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含 E 和 x 的 F 的子域，记作 E(x) ， E(x)称作 E 在 F 中关于 x 的单扩张。比如说，复数域就是实数域在中关于 虚数单位 i 的单扩张。

• 每一个有乘法幺元的环 R 都对应着一个包含它的域，称为它的分式域，记作 K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明， K(R) 是包含 R 的“最小”的域。

• 设 F 是一个域，定义 F(X) 是所有以 F 中元素为系数的分式的集合，则 F(X) 是 F 的一个扩域。 F(X) 是F 上的一个无穷维的矢量空间，这是域的超越扩张的一个例子。

• 设 F 是一个域， p(X) 是多项式环 F[X] 上的一个不可约多项式，则商环 F[X]/<p(X)> 是一个域。其中的 <p(X)> 表示由 p(X) 生成的理想。举例来说， R[X]/<X² + 1> 是一个域(同构于复数域  )。可以证明，F 的所有单扩张都同构于此类形式的域。

• 若 V 是域 F 上的一个代数簇，则所有 V → F 的有理函数构成一个域，称为 V 的函数域。

• 若 S 是一个黎曼曲面，则全体 S → C 的亚纯函数构成一个域。

• 由于序数的类不是集合，因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于的所有自然数构成的子集）都是域。