群（转）
群（转）
在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是封闭性、结合律、单位元和逆元。尽管很多熟知的数学结构比如数系统都遵从这些公理，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理起源于抽象代数或其他许多数学分支的实体，而同时保留对象的本质结构性质。群在数学内外各个领域中是无处不在的，这使得它们成为当代数学的组成的中心原理。[1][2]
群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的如此描述物体的对称特征：它是保持物体不变的变换的集合。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。
群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何学的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。a[›] 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群的表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在 1983 年完成的有限简单群分类中达到顶峰。从 1980 年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支
定义
整数和运算 "+" 一起，形成了一个数学对象，它属于一个广泛的类，这类对象具有相似的结构性质。为了适当地理解这些结构，而不用个别地处理所有具体情况，发展出了下列抽象定义来涵盖上述和很多其他例子。
群是一个集合 G，连同一个运算 "·"，它结合任何两个元素 a 和 b 而形成另一个元素，记为 a · b。符号 "·" 是对具体给出的运算，比如上面加法的一般的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, ·)必须满足叫做群公理的四个要求:
-
1. 封闭性。 对于所有 G 中 a, b，运算 a · b 的结果也在 G 中。b[›] 2. 结合性。 对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a · b) · c = a · (b · c) 成立。 3. 单位元。 存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e · a = a · e = a 成立。 4. 反元素。 对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a · b = b · a = e，这里的 e 是单位元。
进行群运算的次序是重要的。换句话说，把元素 a 与元素 b 结合，所得到的结果不一定与把元素 b 与元素 a结合相同；等式
- a · b = b · a
不一定恒成立。这个等式在整数于加法下的群中总是成立，因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a（加法的交换律）。但是在下面的对称群中不总是成立。使等式 a · b = b · a 总是成立的群叫做阿贝尔群（以尼尔斯·阿贝尔命名）。因此，整数加法群是阿贝尔群，但下面的对称群不是。
例子: 对称群
正方形的对称操作（比如旋转和反射）形成了一个群，叫做二面体群并记为 D4。[5] 二面体群中有下列 8 个对称:
| id (保持原样) |
r1 (向右旋转 90°) |
r2 (向右旋转 180°) |
r3 (向右旋转 270°) |
| fv (垂直翻转) |
fh (水平翻转) |
fd (对角翻转) |
fc (反对角翻转) |
| 正方形的对称群（D4）的元素。对顶点进行着色和编号只是把这些运算形象化。 | |||
-
- 恒等运算保持所有东西不变，记为 id；
- 把正方形向右（顺时针）旋转 90°、180° 和 270°，分别记为 r1、r2 和 r3。
- 关于垂直和水平中线的反射记为 fv 和 fh，关于两个对角线的反射记为 fd 和 fc。
任何两个对称 a 和 b 都可以复合，即进行一个之后再进行另一个。先进行 a 然后进行 b 在符号上“从右到左”写为
- b · a (“进行对称操作 a 之后再进行对称操作 b”。从右到左的记号来源于 函数复合)。
右面的群表列出了这种复合的所有可能结果。例如，右旋 270°(r3) 然后水平翻转(fh)，等于进行一个沿对角线的反射 (fd)，如群表中蓝色突出的单元格所示。使用上述符号可以记为:
- fh · r3 = fd
| · | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| id | id | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
| r1 | r1 | r2 | r3 | id | fc | fd | fv | fh |
| r2 | r2 | r3 | id | r1 | fh | fv | fc | fd |
| r3 | r3 | id | r1 | r2 | fd | fc | fh | fv |
| fv | fv | fd | fh | fc | id | r2 | r1 | r3 |
| fh | fh | fc | fv | fd | r2 | id | r3 | r1 |
| fd | fd | fh | fc | fv | r3 | r1 | id | r2 |
| fc | fc | fv | fd | fh | r1 | r3 | r2 | id |
| 元素 id、r1、r2 和 r3 形成一个子群，用红色突出。这个子群的左和右陪集分别用绿色和黄色突出。 | ||||||||
给定这个对称的集合和描述的运算，群公理可以理解如下:
- 闭合公理要求任何两个对称 a 和 b 的复合 b · a 仍是对称。另一个群运算的例子是
- r3 · fh = fc
就是说在水平翻转后右旋 270°等于沿反对角线翻转 (fc)。确实，两个对称的所有其他组合仍得出一个对称，这可以使用群表来检查。
- 结合律的限制处理多于两个对称的复合: 给定 D4 的三个元素 a、b 和 c，有两种方式计算“a 接着 b 接着 c”。
- (a · b) · c = a · (b · c)
的要求，意味着三个元素的复合与先进行哪个运算是无关的。 例如， (fd · fv) · r2 = fd · (fv · r2) 可以使用右侧的群表来检查
-
(fd · fv) · r2 = r3 · r2 = r1 它等于 fd · (fv · r2) = fd · fh = r1
- 单位元是保持所有东西不变的对称 id：对于任何对称 a，进行 a 然后进行 id（或进行 id 然后进行 a）等于 a，用符号表示为
- id · a = a
- a · id = a
- 逆元素撤销某个其他元素的变换。所有对称都是可以撤销的: 恒等 id，翻转 fh、fv、fd、fc 和 180°旋转 r2 这些变换都是自身的逆元，因为把它们进行两次就把正方形变回了最初的样子。旋转 r3 和 r1 相互是逆元，因为按一个方向旋转再按另一个方向旋转相同角度保持正方形不变。用符号表示为
- fh · fh = id
- r3 · r1 = r1 · r3 = id
与上述的整数群不同的是，在整数群中运算次序是无关紧要的，而在 D4 中则是重要的：fh · r1 = fc 然而r1 · fh = fd。换句话说，D4 不是阿贝尔群，这使得这个群的结构比上面介绍的整数群要更加复杂。
群公理的简单结论
可以从群公理直接获得的关于所有群的基本事实，通常包含在初等群论中。[22] 例如，重复应用结合律公理，可以证明以下等式
- a · b · c = ( a · b) · c = a · ( b · c)
可以推广到多于三个因子。因为这意味着括号可以插入到一序列的项的任何地方，所以通常省略括号。[23]
公理可以弱化为只宣称左单位元和左逆元的存在性。二者可以被证明实际上是双侧的，所以得出的定义与上面给出的等价。[24]
[编辑]单位元和逆元的唯一性
群公理的两个重要结果是单位元和逆元的唯一性。在群中只能有一个单位元，而群中的每个元素都正好有一个逆元素。[25]
要证明 a 的逆元素的唯一性，假设 a 有两个逆元，记为 l 和 r。则
-
l = l · e 由于 e 是单位元 = l · (a · r) 因为 r 是 a 的逆元，所以 e = a · r = (l · a) · r 根据结合律，它允许重新安排括号 = e · r 由于 l 是 a 的逆元，就是说 l · a = e = r 由于 e 是单位元
因此 l 和 r 被一系列等式连接了起来，所以它们是相等的。换句话说 a 只有一个逆元。
[编辑]除法
在群中，可以进行除法: 给定群 G 的元素 a 和 b，G 中存在方程 x · a = b 的唯一解 x。[25] 实际上，把方程右乘以 a−1 给出解 x = x · a · a−1 = b · a−1。类似地，G 中存在方程 a · y = b 的唯一解 y，也就是 y = a−1 · b。一般地说，x 和 y 不一定相等。
这一结果的一个推论是“乘以某个群中的元素 g ”是一个双射。特别地，如果 g 是群 G 的一个元素，则有 G到自身的双射，（称为由 g 引起的左平移）它将 映射为 。类似地，由 g 引起的右平移是一个 G 到自身的双射，它将 映射为 。如果 G 是阿贝尔群，由同一个元素引起的左平移和右平移是相同的。