初次入门——ZKW线段树

今天老蔡教了个高大上的ZKW线段树，于是我突发奇想想来写篇博客，算是对自己加深下理解

才刚入门，所以就只讲一些入门的，各位巨巨不要嘲笑俺

  这个线段树不需递归，顺序是自底向上，由于信息总是存在叶子节点，光这样也还是不够的，由于数据在原数组和树上存的位置是有一些偏差的，所以这里就需要计算一个整体偏移量M，大家来看这个图

                                   图1

   我们发现，最下面的节点为4,5,6,7,那么对应原数组（假设原数组下标从1开始）直接下标减掉个3不就好了，这样就可以直接找到叶子节点了，而不需要像常规线段树那样还要从上到下去递归寻找。

  还有，第k层的第一个数，它总是为2^(k-1)，我们按这个来寻找M

     for(M=1;M<=n+1;M*=2);

至于这里为什么是<=n+1,是这样的，理论上第k层可以存的数的个数是2^k-1，然而对于这里的话，我们必须把底层最两端的叶子节点牺牲掉，也就是不存任何信息（至于为什么等等再说），也就是说，实际上底层只存了n-2个数，那么，如果我要存n-1个数，岂不是不够？，为了避免这一点，所以我们要多计算一层M。

   还有，在查询的时候，例如查询[s，t],切记要执行s+=M-1,t+=M+1;为什么？

如果不执行的话，是有可能把某些节点遗漏的，比如下图

                          图2

如果不执行 s+=M-1,t+=M+1，那么其实s，t这两个节点是被忽略的，这就是为什么要拓展空间(为什么是这样往上走的等等再讲）

现在可以解释下为什么要牺牲最两端的叶子节点

还是看上图，坐标是8,9,10，...，15，我们来查询[9,14]，执行 s+=M-1,t+=M+1，是不是成了(8,15),正好铺满了，如果不牺牲这连个点，是不是会使得s，t不在同一层上呢？

对了，既然建树是自底向上的，那么具体是怎么样的呢，刚才讲到算好M

接下来，不就是把信息存在叶子，然后我们得从叶子开始往上走，

例如是算区间和的：

  for(i=M-1;i;i--)

        tree[i]=tree[i<<1]+tree[i<<1|1];

 M-1，相当于从上一层的最后一个节点开始，然后把两个子节点的信息加起来保存在当前节点。

建树好了，那么更新呢?

更新就太简单了，O(1)时间找到子节点，然后修改，然后就去修改祖先就行了（不要忘了位置的偏移）

for(tree[p+=M]+=val,p>>=1;p;p>>=1)

        tree[p]=tree[p<<1]+tree[p<<1|1];

下面是查询

  for(s+=M-1,t+=M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1)

    {

        if(~s&1)

            ans+=tree[s^1];

        if(t&1)

            ans+=tree[t^1];

    }

下面解释下这段代码

  s^t^1，看图

 倒数第二层的两个黑点，相差1，显然现在已经把[s，t]的范围包含了，也就是说程序到这可以停止了，那么s^t^1,当s==t-1时，

是不是就是0呢？

        if(~s&1)

            ans+=tree[s^1];

        if(t&1)

            ans+=tree[t^1];

~s&1可以来判断s是不是左节点，t&1来判断是不是有节点，大家试着把1,2,3,4....改成1,10,11，试试

会不会发现，每个节点的两个子节点都是以当前节点为前缀的，而左节点的最后一位是0，右节点的最后一位为1

然后，为什么是 ans+=tree[s^1];和 ans+=tree[t^1];，t^1就是把t的最后一位取反，0->1,1->0，就是找点另一半，左节点的话，找右节点，反之相同，然后，为什么是要这么去查询呢，依然去看图二，我们假设现在要算[10,13]，现在变成（9，14），现在s不是左节点，直接往上走，t不是右节点，直接往上走，再看这两个黑点，不正好包括了 [10,13]的范围呢？

再看图3，s是左节点，加上右节点，然后向上走，t是右节点，加上左节点，然后往上走，这样，不正好包括了范围了呢？

基本入门的就是这样，附上HDU敌兵布阵的代码

//zkw线段树

#include<stdio.h>
#include<string.h>

const int maxn=50010;
int tree[4*maxn];
int M;
void Build_Tree(int n)
{
    int i;
    for(M=1;M<=n+1;M*=2);
    for(i=M+1;i<=M+n;i++)
        scanf("%d",&tree[i]);//M到叶子节点那层，然后存数据
    for(i=M-1;i;i--)
        tree[i]=tree[i<<1]+tree[i<<1|1];
}

void Updata_Tree(int p,int val)
{
    for(tree[p+=M]+=val,p>>=1;p;p>>=1)
        tree[p]=tree[p<<1]+tree[p<<1|1];
}

int Query_Tree(int s,int t)
{
    int ans=0;
    for(s+=M-1,t+=M+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1)
    {
        if(~s&1)
            ans+=tree[s^1];
        if(t&1)
            ans+=tree[t^1];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int T,n;
    while(~scanf("%d",&T))
    { 
        int t=0;
        while(T--)
        {
            char op[10];
            scanf("%d",&n);
            Build_Tree(n);//建树
            printf("Case %d:\n",++t);
            while(1)
            {
                scanf("%s",op);
                if(op[0]=='E')
                    break;
                else if(op[0]=='Q')
                {
                    int s,t;
                    scanf("%d%d",&s,&t);
                    printf("%d\n", Query_Tree(s,t));
                }
                else if(op[0]=='A')
                {
                    int val,p;
                    scanf("%d%d",&p,&val);
                    Updata_Tree(p,val);
                }
                else if(op[0]=='S')
                {
                    int val,p;
                    scanf("%d%d",&p,&val);
                    Updata_Tree(p,-val);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

至于是区间更新的，等我学了以后再来写吧，嘻嘻嘻