题意:
n种颜色串成m长度的环的方案数,赤裸裸的polya,ans/(2*n)%MOD要用到乘法逆元,用扩展欧几里得求解。
题解:
扩展欧几里得算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。
扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
a*x=1(mod b) (gcd(a,b)=1,否则无解)
x称为a关于b的乘法逆元.
关于求乘法逆元可以用扩展的欧几里得算法来求
a*x=1(mod b)
=> a*x=b*y+1.
=> a*x-b*y=1.
接着用扩展欧几里得算法求解x。
#include<iostream> #include<math.h> #include<stdio.h> #include<algorithm> #include<string.h> #include<vector> #include<queue> #include<map> #include<set> #define B(x) (1<<(x)) using namespace std; typedef long long ll; typedef __int64 LL; void cmax(int& a,int b){ if(b>a)a=b; } void cmin(int& a,int b){ if(b<a)a=b; } void cmax(ll& a,ll b){ if(b>a)a=b; } void cmin(ll& a,ll b){ if(b<a)a=b; } void add(int& a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; } void add(ll& a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; } const int oo=0x3f3f3f3f; const ll MOD=1000000007; ll quick_pow(ll a,ll k){ ll ans=1; while(k){ if(k&1) ans=(ans*a)%MOD; a=(a*a)%MOD; k>>=1; } return ans; } int gcd(int a,int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a; } ll extend_gcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y){ if(b==0){ x=1; y=0; return a; }else{ ll d=extend_gcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y; return d; } } int main() { int T,c,n; scanf("%d",&T); for(int cas=1;cas<=T;cas++){ scanf("%d %d",&c,&n); if(n==0){ printf("0\n"); continue; } ll ans=0; if(n&1){ add(ans,quick_pow(c,(n-1)/2+1)*n%MOD,MOD); for(int i=1;i<=n;i++) add(ans,quick_pow(c,gcd(n,i)),MOD); }else{ add(ans,quick_pow(c,(n-2)/2+2)*n/2%MOD,MOD); add(ans,quick_pow(c,n/2)*n/2%MOD,MOD); for(int i=1;i<=n;i++) add(ans,quick_pow(c,gcd(n,i)),MOD); } ll x=0,y=0; extend_gcd(2*n,MOD,x,y); ans=(ans*x%MOD+MOD)%MOD; printf("Case #%d: ",cas); cout<<ans<<endl; } return 0; }