wikioi-天梯-提高一等-棋盘dp-1169：传纸条

题目描述 Description

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述 Input Description

输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出描述 Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入 Sample Input

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

样例输出 Sample Output

34

数据范围及提示 Data Size & Hint

30%的数据满足：1<=m,n<=10

100%的数据满足：1<=m,n<=50

类型：dp 难度：2.5

题意：给出一个n*m矩阵，给出每个点的权值，以左上为起点，右下为终点，从左上出发，经过右下再回到左上，形成一来一回两条路径，两条路径不能有交叉，求这两条路径上权值和的最大值。

分析：开始考虑用dp[i][j]表示从(i,j)经过右下回到左上的最大值，但是发现这一过程有多重复计算，导致超时。发现之前的思路都是先确定从左上到右下的第一条路，再计算回来的第二条路，但是这样就会造成，只要第一条路有一处变化，第二条路能走的区域就发生变化，又要重新计算在这个区域的第二条路的所有可能性。

后来看了别人的评论，发现是用一个四维数组记录dp状态。基本思路是，由于两条路不能交叉，所以必定是一条从(1,0)到(n-1,m-2)，一条是从(0,1)到(n-2,m-1)，所以不用考虑方向问题，即找到这两条路的和的最大值。用dp[i][j][k][l]表示，从(1,0)到(i,j)和从(0,1)到(k,l)的两条路的和的最大值。

由于(i,j)和(k,l)都可能从左边和上边两个方向转移而来，所以一个(i,j,k,l)可能由4个状态转移而来，状态转移方程：

dp[i][j][k][l] = max(dp[i-1][j][k-1][l]，dp[i-1][j][k][l-1]，dp[i][j-1][k-1][l]，dp[i][j-1][k][l-1]) + a[i][j] + a[k][l]

a[i][j]表示(i,j)的值，最终dp[n-1][m-2][n-2][m-1]即为所求。

ps：注意边界条件，或者将数组下标+1，然后初始化为0来处理

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int dp[60][60][60][60],a[60][60];
int n,m;
int dir[2][2] = {{-1,0},{0,-1}};

int mmax(int a,int b)
{
    return (a>b)?a:b;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            cin>>a[i][j];
    
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    
    for(int i=2; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<m; j++)
            for(int k=1; k<i; k++)
                for(int l=2; l<=m; l++)
                {
                    for(int p=0; p<2; p++)
                        for(int q=0; q<2; q++)
                        {
                            int sx = i+dir[p][0];
                            int sy = j+dir[p][1];
                            int tx = k+dir[q][0];
                            int ty = l+dir[q][1];
                            //if(sx==tx && sy==ty) continue;
                            dp[i][j][k][l] = mmax(dp[i][j][k][l],dp[sx][sy][tx][ty]);
                        }
                    dp[i][j][k][l] += a[i][j]+a[k][l];
                    //cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<" "<<l<<" "<<dp[i][j][k][l]<<endl;
                }
    
    cout<<dp[n][m-1][n-1][m]<<endl;
}