wikioi-天梯-普及一等-区间dp-1166:矩阵取数游戏

【问题描述】
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏:对于一个给定的n*m 的矩阵,矩阵中的每个元素aij均
为非负整数。游戏规则如下:
1. 每次取数时须从每行各取走一个元素,共n个。m次后取完矩阵所有元素;
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾;
3. 每次取数都有一个得分值,为每行取数的得分之和,每行取数的得分= 被取走的元素值*2i
其中i 表示第i 次取数(从1 开始编号);
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序,对于任意矩阵,可以求出取数后的最大得分。

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1 行为n*m矩阵,其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出 仅包含1 行,为一个整数,即输入矩阵取数后的最大得分。

2 3
1 2 3
3 4 2

82

样例解释

第 1 次:第1 行取行首元素,第2 行取行尾元素,本次得分为1*21+2*21=6
第2 次:两行均取行首元素,本次得分为2*22+3*22=20
第3 次:得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82

 

【限制】
60%的数据满足:1<=n, m<=30, 答案不超过1016
100%的数据满足:1<=n, m<=80, 0<=aij<=1000

类型:dp 难度:2

题意:给出n*m的矩阵,需要取m次,每次依次取每一行的行首或行尾的数,然后将这n个数的和乘以2^i,i为次数,1<=i<=m,将每次的计算值累加,求怎样取,能获得最大值

分析:首先,可以看出每一行的取法互相之间是独立的,所以问题变成m个数,怎样取能获得最大值,然后重复进行n次。这个问题也是区间dp,可以看出进行到某个状态时,该状态可以由之前两个状态转换而来,即去掉行首或行尾。

用dp[i][j]表示当前段为[i,j]时,已经处理的数[1,i-1],[j+1,m]所能获得的最大值。

递推方程:dp[i][j] = max(dp[i-1][j]+a[i-1]*2^k, dp[i][j+1]+a[j+1]*2^k)

其中,a[i]表示本行的第i个数,k为当前的次数,k = m-(j-i)+1

初始值dp[0][m-1] = 0,最后求dp[i][i] + a[i]*2^m 的最大值,0<=i<m

ps:本次的结果已经超过long long 范围,还需要用高精度表示,我的思路是,用一个数据表示每个数的二进制,最后再将结果转化为十进制,因为每一步都要乘以2^i,所以用二进制数组的话,只需进行数组的移位操作即可。

还有一点注意:由于我用的二进制数据需要事先用memset清零,但是发现将数组作为实参(比如函数参数为int*)传入函数,memset不能达到效果,原因是memset不知道函数参数(这个int*指针)指向的空间有多大,所以无法初始化,还是要在数组声明的作用域来进行memset才能达到效果。

 

代码:

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;

int a[90][90],n,m;
int dp[90][90][150];

void lmov(int s,int l,int d[])
{    
    for(; s; l++,s>>=1)
        if(s&1) d[l] = 1;
}

void madd(int a[],int b[])
{
    for(int i=0; i<140; i++)
    {
        b[i] += a[i];
        for(int j=i; b[j]>1; j++)
        {
            b[j] = 0;
            b[j+1]++;
        }
    }
}

void mmax(int a[],int b[])
{
    for(int i=140; i>=0; i--)
    {
        if(a[i]>b[i]) return;
        else if(a[i]<b[i]) break;
    }
    for(int i=0; i<150; i++)
        a[i] = b[i];
}

void bintodec(int a[],int b[])
{
    int pt[150];
    memset(pt,0,sizeof(pt));
    pt[0] = 1;
    for(int i=0; i<140; i++)
    {
        if(a[i])
        {
            for(int j=0; j<140; j++)
                b[j] += pt[j];
            for(int j=0; j<140; j++)
                if(b[j]>9)
                {
                    b[j+1] += b[j]/10;
                    b[j] %= 10;
                }
        }
        for(int j=0; j<140; j++)
            pt[j] *= 2;
        for(int j=0; j<140; j++)
        {
            if(pt[j]>9)
            {
                pt[j+1] += pt[j]/10;
                pt[j] %= 10;
            }
        }
    }
    
    bool f = 0;
    for(int i=140; i>=0; i--)
    {
        if(!f && b[i]>0) f = 1;
        if(f) cout<<b[i];
    }
    if(!f) cout<<"0";
    cout<<endl;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<m; j++)
            cin>>a[i][j];

    int ans[150];
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int ta[150];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(ta,0,sizeof(ta));
        if(m==1)
        {
            lmov(a[i][0],1,ta);
        }
        for(int l=m-2; l>=0; l--)
        {
            for(int j=0; j+l<m; j++)
            {
                int tmp[150];
                if(j>0)
                {
                    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
                    lmov(a[i][j-1],m-l-1,tmp);
                    madd(dp[j-1][j+l],tmp);
                    mmax(dp[j][j+l],tmp);
                }
                if(j+l<m-1)
                {
                    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
                    lmov(a[i][j+l+1],m-l-1,tmp);
                    madd(dp[j][j+l+1],tmp);
                    mmax(dp[j][j+l],tmp);
                }
                if(l==0)
                {
                    memset(tmp,0,sizeof(tmp));
                    lmov(a[i][j],m,tmp);
                    madd(dp[j][j],tmp);
                    mmax(ta,tmp);
                }
            }
        }
        madd(ta,ans);
    }
    int ret[150];
    memset(ret,0,sizeof(ret));
    bintodec(ans,ret);
}


 

 

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