超大整数乘法运算——C语言

超大整数乘法运算——C语言

在计算机中，长整型(long int)变量的范围是 -2147483648 至 2147483647，因此若用长整型变量做乘法运算，乘积最多不能超过 10位数。即便用双精度型(double)变量，也仅能保证 16 位有效数字的精度。在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。          比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。  下面先介绍“列表法”：  例如当计算8765 x 234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1：                                                   把表1中的数按图示斜线分组（横纵坐标和相等的数分为一组），把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表 2：         从最低位的 20 开始，保留个位数字“0”，把个位以外的数“2”进到前一位；把次低位的 39 加上低位进上来的 2 得 41，保留个位数字“1”，把“4”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16，16 加上低位进上来的4得 20，保留“0”，把2进到最高位，得乘积答数 2051010。                       根据以上思路就可以编写C 程序了，再经分析可得：  1、一个m 位的整数与一个 n 位的整数相乘，乘积为m+n-1 位或m+n 位。  2、程序中，用三个字符数组分别存储乘数、被乘数与乘积。由第 1 点分析知，存放乘积的字符数组 的长度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。  3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格 2所需的空间。  4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。  编写的程序如下：  #define MAXLENGTH 1000 #include <stdio.h> #include <string.h> void compute(char *a, char *b, char *c); void main(void) { char a[MAXLENGTH], b[MAXLENGTH], c[MAXLENGTH * 2]; puts("Input multiplier :"); gets(a); puts("Input multiplicand :"); gets(b); compute(a, b, c); puts("Answer :"); puts(c); getchar(); } void compute(char *a, char *b, char *c) { int i, j, m, n; long sum, carry; m = strlen(a) - 1; n = strlen(b) - 1; for (i = m; i >= 0; i--) a[i] -= '0'; for (i = n; i >= 0; i--) b[i] -= '0'; c[m + n + 2] = '\0'; carry = 0; for (i = m + n; i >= 0; i--) /* i 为坐标和 */ { sum = carry; if ((j = i - m) < 0) j = 0; for ( ; j<=i && j<=n; j++) /* j 为纵坐标 */ sum += a[i-j] * b[j]; /* 累计一组数的和 */ c[i + 1] = sum % 10 + '0'; /* 算出保留的数字 */ carry = sum / 10; /* 算出进位 */ } if ((c[0] = carry+'0') == '0') /* if no carry, */ c[0] = '\040'; /* c[0] equals to space */ } 效率分析：用以上算法计算 m位整数乘以n 位整数，需要先进行 m x n次乘法运算，再进行约 m + n次加法运算和 m + n次取模运算(实为整数除法)。把这个程序稍加修改，让它自己产生乘数与被乘数，然后计算随机的 7200位整数互乘，在Cyrix 6x86 pr166机器的纯DOS方式下耗时 7秒(用Borland C3.1编译)。 经过改进，此算法效率可以提高约9 倍。  注意到以下事实：8216547 x 96785 将两数从个位起，每 3位分为节，列出乘法表，将斜线间的数字相加； 8   216   547       96     785 将表中最后一行进行如下处理：从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出 1000 的部 分进位到前一个方格里；  所以8216547 x 96785 = 795238501395  也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也是满1000进位。这样，我们在计算 m位整数乘以 n位整数，只需要进行 m x n / 9次乘法运算，再进行约(m + n) / 3次加法运算和(m + n) /3 次取模运算。总体看来，效率约是前一种算法的 9倍。  有人可能会想：既然能够三位三位地乘，为什么不4位 4位甚至5位5位地乘呢？那不是可以提高 16 乃至 25 倍效率吗？听我解来：本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整数(范围 0至~4294967295)作为累加变量，在最不利的情况下(两个乘数的所有数字均是 9)，能够累加约4294967295/(999*999)=4300 次，也就是能够准确计算任意两个均不超过 12900(每次累加的结果"值"三位，故 4300*3=12900)位的整数相乘。如果 4 位 4 位地乘，在最不利的情况下，能够累加约4294967295/(9999*9999)=43 次，仅能够确保任意两个不超过 172 位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说5位了。  请看改进后的算法的实例程序：  该程序随机产生两个72xx位的整数，把乘数与积保存在 result.txt中。在Borland C++ 3.1 中用  BCC -3 -O2 -G -mh -Z -f287 -pr -T- dashu.cpp 编译生成的exe文件在Cyrix 6x86 pr166的机器上运行耗时0.82 秒。  程序 2 清单：  #include<conio.h> #include<string.h> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #define N 7200 //作 72xx 位的整数乘法 int max(int,int,int); int initarray(int a[]); void write(int a[],int l); FILE *fp; void main() { int a[5000]={0},b[5000]={0},k[10001]={0}; //声明存放乘数、被乘数与积的数组 clock_t start, end; //声明用于计时的变量 unsigned long c,d,e; //声明作累加用的无符号长整数变量 int i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; //声明其它变量 randomize(); //初始化随机数 la=initarray(a); //产生被乘数，并返回其长度 lb=initarray(b); //产生乘数，并返回其长度 if(la<lb) //如果被乘数长度小于乘数，则交换被乘数与乘数 { p=(lb>la)?lb:la; for (q=0;q<p;q++) //交换被乘数与乘数 t=a[q],a[q]=b[q],b[q]=t; t=la,la=lb,lb=t; //交换被乘数的长度与乘数的长度 } start = clock();//开始计时 c=d=0; //清空累加变量，其中 C 用于累加斜线间的数，d 用作进位标志 for(i=la+lb-2;i>=0;i--) //累加斜线间的数，i 为横纵坐标之和 { c=d; //将前一位的进位标志存入累加变量 c ma=max(0,i-la+1,i-lb+1); //求累加的下限 mi=(i>la-1)?(la-1):i; //求累加的上限 for(j=ma;j<=mi;j++) //计算出横纵坐标之和为 i 的单元内的数,并累加到 C 中 c+=(long)a[j]*b[i-j]; d=c/1000; //求进位标志 if(c>999) c%=1000; //取 c 的末三位 k[i]=c; //保存至表示乘积的数组 k[] } e=k[0]+1000*d; //求出乘积的最高位 end = clock();//停止计时 fp = fopen("result.txt", "w+"); //保存结果到 result.txt printf("\nThe elapsed time was: %3.4f\n", (end - start) / CLK_TCK); //打印消耗的时间 fprintf(fp,"%d",a[0]); //打印被乘数最高位 write(a,la); //打印被乘数其他位 fprintf(fp,"%d",b[0]); //打印乘数最高位 write(b,lb); //打印乘数其他位 fprintf(fp,"%ld",e); //打印乘积最高位 write(k,la+lb-1); //打印乘积其他位 fclose(fp); } max(int a,int b,int c) { int d; d=(a>b)?a:b; return (d>c)?d:c; } int initarray(int a[]) { int q,p,i; q=N+random(100); if(q%3==0) p=q/3; else p=q/3+1; for(i=0;i<p;i++) a[i]=random(1000); if(q%3==0) a[0]=100+random(900); if(q%3==2) a[0]=10+random(90); if(q%3==1) a[0]=1+random(9); return p; } void write(int a[],int l) { int i; char string[10]; for(i=1;i<l;i++) { itoa(a[i],string,10); if (strlen(string)==1) fprintf(fp,"00"); if (strlen(string)==2) fprintf(fp,"0"); fprintf(fp,"%s",string); if((i+1)%25==0) fprintf(fp,"\n"); } fprintf(fp,"\n"); fprintf(fp,"\n"); }