poj 2096 Collecting Bugs （概率dp）

小记：dp好像分好多种，看到了斜率dp，概率dp，树形dp，。。。今天遇到了一个概率dp题，不晓得怎么入手。然后百度之，原来是概率dp，瞬间觉得好高端，看也看不懂，于是想着看能找点入门题做下。从网上找了一道，就是此题了。。。

题目大意：有一个程序，有n种bug和m个子系统，当找到一个bug时，它只会在一个系统。当然也可能你在其它系统也可以找到这样的bug，但是那是在找到另一个bug的时候，虽然两个是一种。规定一天只会找到一个bug。问，找到n种bug，且分布在m个子系统中的期望天数。

题解：因为每天都有一个，所以bug是无穷多个的。因此，每天找到一个bug它是某种类型的概率是1/n，在某个系统找到的概率是1/m。

令dp[i][j] 表示为找到了i种bug，分布在j个子系统中时，要到到目标状态所需要的期望天数。

很显然dp[n][m] = 0,而dp[0][0]就是我们要求的目标状态。

当我们找到了一个bug时，有四种情况可能出现;

dp[i][j]，这个bug是原来i种就有的，且也在原来的j个子系统中

dp[i+1][j] ,这个bug是原来i种里所没有的，但在原来的j个子系统中

dp[i][j+1]，这个bug在原来的i种就有的，但不在原来的j个子系统中

dp[i+1][j+1],这个bug是原来i种里所没有的，但也不在原来的j个子系统中

每一种发生的概率为：

p1 = i*j/(n*m)

p2 = (n-i)*j/(n*m)

p3 = i*(m-j)/(n*m)

p4 = (n-i)*(m-j)/(n*m)

根据期望的性质（在里面相加等于在各个分别期望相加），可得

dp[i,j] = p1*dp[i,j] + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] + 1

        = ( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 ) 

        = ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <map>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAX_ = 1010;

double dp[MAX_][MAX_];

int main() {
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
        dp[n][m] = 0.0;
        for(int i = n; i >= 0; i--){
            for(int j = m; j >= 0; j--){
                if(i == n && j== m)continue;
                dp[i][j] = (n*m + (n-i)*j*dp[i+1][j] +
                                i * (m-j) *dp[i][j+1] +
                                (n-i) * (m- j) *dp[i+1][j+1])/(n*m -i*j);
            }
        }
        printf("%.4lf\n",dp[0][0]);
    }
    return 0;
}