蓝桥杯 结果填空 正六面体染色 Burnside引理

正六面体用4种颜色染色。

共有多少种不同的染色样式？

要考虑六面体可以任意旋转、翻转。

 

参考答案：

240

可以想象，这道题如果编程的话，代码不会很少，关键是也没啥思路，其实组合数学早就给我们提供了数学工具，就是burnside引理（已下内容参考维基百科）

伯恩赛德引理

伯恩赛德引理（Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德（William Burnside）、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)^[1]。

下文中，设  是一个有限群，作用在集合  上。对每个  属于  令  表示  中在  作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 ）由如下公式给出：^[2]

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

也许你并没有看懂到底说的是什么，其实我也看不大懂，群这一部分是在离散数学中学过，不过不是很详细，有个大概的概念，我们需要知道的是下面这个应用：

使用三种颜色对立方体的面染色，旋转后相同的视为一种，染色方式总数可以由这个公式确定。

选取一个定向，设 X 是这个定向立方体所有 3⁶ 种可能面染色组合，立方体的旋转群自然作用在 X 上。则 X 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数，可以通过数 G 的 24 个元素的不动集合的大小求出来。

• 这些自同构的详细检验可参见循环指标（Cycle index）一文。六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。
• 六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。
• 三个 180 度面旋转，每一个保持 X 的 3⁴ 个元素不变。
• 八个 120 度顶点旋转，每一个保持 X 的 3² 个元素不变。                               
• 六个 180 度边旋转，每一个保持 X 的 3³ 个元素不变。

这样，平均不动集合的大小是

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地，使用 n 种颜色，立方体不同的旋转面染色数是

<-----千百句话语就是这个公式，将4带入，就可以求出结果

证明

定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实：