MFC 滤波算法

以微处理器为基础的电工测量仪表在计算电力系统有效值时，信号频率的不稳定会带来不同步采样误差[1?2]。许多学者就克服这种测量误差进行了研究，如小波分析法[3]，三点法[4]，微分采样法[5]，各方法都有其优点。文献[6]提出电气参量卷积窗加权算法，可基本消除不同步采样的测量误差，且权函数有固定解析式，算法简单便于实现。但对于加权算法计算有效值时，ADC带来的量化误差问题却没有进行详细的研究。本文分析了不同步采样误差与相对频偏和窗阶数的关系，重点推导了卷积窗下有效值量化相对误差关于采样频率和量化位数的解析式。 

　　1 电气参量卷积窗加权算法分析 

　　1.1 有效值定义 

　　设交流电电压信号[u（t）]的周期为[T，]有效值定义为：在一个信号周期内，通过某纯阻负载所产生的热量与一个直流电压在同一负载上产生的热量相等时，该直流电压的数值就是交流电压的有效值，通常也称真有效值，即 

　　[U=1T0Tu2（t）dt] （1） 

　　对于标准正弦信号[u（t）=Umsin（2πft+φ）]，其有效值为：[U=Um2。] 

　　在电信号采样中，即使等间隔采样的采样周期与信号周期存在整数倍关系，但由于信号频率不稳等原因，导致用式（1）计算有效值时，使得信号周期[T]只能用一个近似值[T0]代入，会出现不同步误差。 

　　1.2 有效值的卷积窗加权算法[6] 

　　采样法计算有效值的实质是对信号加长度为[T0，]中心在[t0]的矩形窗函数： 

　　[U21t0=1T0-∞+∞w1τ-t0T0u2τdτ] （2） 

　　其中[w1]为矩形函数： 

　　[w1t=0， t >121， t ≤12 ] （3） 

　　[k]阶卷积窗加权有效值测量形式为： 

　　[U2kt0=1T0-∞+∞wkτ-t0T0u2τdτ] （4） 

　　其中[wkt=w1t*w1t*…*w1kt，]为[k]阶卷积窗。 

　　[w1t]为宽度为[T0]的矩形窗函数，故[wkt]的时域总宽度为[kT0]，其傅里叶变换为： 

　　[Wkf=sincT0fk] （5） 

　　1.3 加权算法的不同步采样误差分析 

　　对于最高谐波次数为[M，]基频为[f1]的周期信号[u2（t）]，可以表示为： 

　　[u2t=A0+m=1MAmcos2πmf1t+φm] （6） 

　　式中：[A0]为信号[u2t]的直流分量（即[u2t]的平均值）；[Am]及[φm]分别为第[m]次谐波的幅值和初相位。 

　　定义加窗信号[ht，t0]为： 

　　[ht，t0=wkt-t0T0u2t] （7） 

　　[U2kt]为加窗信号[ht，t0]的平均值，根据傅里叶变换的定义，它显然等于[ht，t0]的直流分量[H0，t0]，[Hf，t0]为[ht，t0]的傅里叶变换，则： 

　　[U2kt0=A0+m=1MWkmf1Amcos2πmf1t0+φm] （8） 

　　根据定义可知[A0=U2]，式（8）第二项便是[k]阶加权有效值平方[U2kt0]在非同步采样[T0≠T1]时所造成的误差。 

　　为了进一步分析误差的大小，引入相对同步偏差[x]，即[T0=1+xT1， f1=1+xf0。] 

　　在电力系统中，由于基频的波动范围很小，一般来说[x?1]且最高谐波次数[M<20，]故[mx?1]，这时对式（8）进行化简： 

　　[U2kt0=U2+m=1M-1msinπmx+πmπm1+xkAmcos2πmf1t0+φm≈U2+x1+xkm=1M-1kmAmcos2πmf1t0+φm=U2+x1+xku2t0-kT12-U2] 

　　可以看出测量误差正比于[x1+x]的[k]次方，比例系数为窗函数起始处信号对其均值的偏离量，若选择采样信号段起始处使其采样值刚好等于信号的均值，则测量误差将等于0。 

　　若测量值随[t0]的不同而起伏变化，其数学期望和方差分别为： 

　　[EUk≈EU+12x1+xku2t0-kT1/2-U2U=U] （10） 

　　[DUk≈D12x1+xku2t0-kT1/2-U2U =Du2t4U2x1+x2k ] （11） 

　　因此，由非同步采样造成的测量相对误差[σ]为： 

　　[σ=DUkU≈Du2t2U2x1+xk] （12） 

　　由于[x?1]（0.01量级），可以看出随着权阶[k]的增大，不同步采样的测量误差急剧减小。对于电力系统中信号，一般只需[k]取2或3，便可把误差降低到次要的、可以忽略的程度。 

　　2 量化误差分析 

　　由于利用上述算法基本上可消除不同步采样对各电气参量所造成的测量误差，因此信号的量化对测量造成的误差将变得重要。在分析有效值卷积窗加权算法的量化误差之前，先对信号进行时间上的离散