cs231n 卷积神经网络与计算机视觉 4 Backpropagation 详解反向传播

反向传播backpropagation是递归（recursive）调用求导链式法则（chain rule）来求导的过程，对他的理解对于神经网络的应用很重要。

反向传播 backpropagation

反向传播在UFLDL中的介绍已经较为具体 （http://blog.csdn.net/bea_tree/article/details/51174776），这里仅作补充。
原文简要介绍了求导与链式求导的基本原理，这里不再赘述了，但是还是写一下关于简单的backpropagation的例子：

上图可以用下面的式子表示：

f=z×(x+y)

我们要做的事情是给定输入x,y,z的值（绿色），然后求其导数（红色）。
df/dz好求，df/dx和df/dy需要运用链式求导法则：df/dx=df/dq*dq/dx而df/dq=z,也就是在计算df/dx的时候用到了后面的df/dq，这就是backpropagation。
我们现在整理下上面的过程：
1. 正向传播 计算各个点的输出值
2. 计算局部导数如dq/dx
3. 利用chain rule 进行反向传播获得最终我们需要的导数
上述过程不需要考虑整个网络，只需要单独计算各个节点。
再次直观的对上图的公式进行理解：如果我们想要输出变大，那么该如何修改x,y,z三个值呢？在都改变很小的条件下，由于x,y导数为负，z导数为正，所以应该减小xy增大z。文中将线路中的每一个节点叫作gate。链式求导就是将各个Gates的导数相乘，但是并不是任何时候都要用相乘的形式，因为很多导数是可以事先算好记住的，比如sigmoid的导数：

σ(x)=11+e−x→dσ(x)dx=e−x(1+e−x)2=(1+e−x−11+e−x)(11+e−x)=(1−σ(x))σ(x)

以后只记住这个结果可以在以后的计算中省心省力。
技巧：有时候将正向传递打碎分段，分别进行可以比较容易的计算backpropagation。
另外这里对文中的“+=”说明下：“if a variable branches out to different parts of the circuit, then the gradients that flow back to it will add.”例如f=x+g(x)+h(x),那么df/dx=三部分对x的导数之和。

Patterns in backward flow

通过上图来说明下反向传播中各个gate的作用：
1. 加法门：加法门不会给他的输入带来改变，会将它输出的梯度直接传递过去；
2. max门：max中只有一个会有梯度，另外一个为0，会把他的输出的导数传递到较大的输入中；
3. 乘法门：某个输入的梯度等于输出的梯度与其他因子的乘积，比如x的梯度为-8=-4*2。
另外这里需要注意的是我们在分析乘法门的时候可以发现，若输入为w*x，如果我们的初始设置的x比较大，比如比我们之前设置的大1000倍，那么我们得到w的梯度就会非常大，大1000倍，也就是说如果我们输入的值太大就需要将学习速度（步长）调小。这也说明了预处理的重要性。
另外在实际运用中可以使用矩阵的乘法来进行backpropagation