一元三次方程求根公式详细逐步推导

ax3+bx2+cx+d=0a≠0a,b,c,d∈ℜ

x=?

x3+bx2a+cxa+da=0

设k0=1,k1=ba,k2=ca,k3=da

k0x3+k1x2+k2x+k3=0

设x=y+η

k0(y+η)3+k1(y+η)2+k2(y+η)+k3=0

(y+η)3(y+η)2=y3+3y2η+3yη2+η3=y2+2yη+η2

k0y3+k03y2η+3yη2k0+η3k0+y2k1+2yηk1+η2k1+yk2+ηk2+k3=0

y3k0+y2(k03η+k1)+y1(3η2k0+2ηk1+k2)+y0(η3k0+η2k1+ηk2+k3)=0

k0=3k0η+k1=3η2k0+2ηk1+k2=η3k0+η2k1+ηk2+k3=10pq

设y3+py+q=0

3η+k1=3η2+2ηk1+k2=η3+η2k1+ηk2+k3=0pq

η=−k13p=3(−k13)2+2(−k13)k1+k2p=−(k1)23+k2q=(−k13)3+(−k13)2k1+(−k13)k2+k3q=−k3127+3k3127−k1k23+k3q=2k3127−k1k23+k3

设y=A13+B13A′=A13A′0∈ℜ,A′1=ωA′0,A′2=ω2A′0B′=B13B′0∈ℜ,B′1=ωB′0,B′2=ω2B′0

∵y3=A+B+(AB)13(A13+B13)y3=A+B+(AB)13yy3−(A+B)−(AB)13y=0y3+py+q=0∴p=−3(AB)13q=−(A+B)A+B=−qAB=(−p3)3

根据韦达定理：根据QuadraticFormula:∵x1+x2=−bax1x2=caax2+bx+c=0∴A=x1,B=x2,q=ba,(−3p)3=ca∵ax2+bx+c=0x1=−b+b2−4ac‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2ax2=−b−b2−4ac‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2ax1=−b+b2−4ac‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2a=−b2a+b222a2−ca‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√x2=−b+b2−4ac‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2a=−b2a−b222a2−ca‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

∴A0=−q2+q24+p327‾‾‾‾‾‾‾‾‾√B0=−q2−q24+p327‾‾‾‾‾‾‾‾‾√∵A′=A13A′0∈ℜ,A′1=ωA′0,A′2=ω2A′0B′=B13B′0∈ℜ,B′1=ωB′0,B′2=ω2B′0∵ω=−1±3‾‾√i2AB=(−q3)3q∈ℜ∴A0=(A′0)3B0=(B′0)3A1=(A′1)3B1=(B′2)3A2=(A′2)3B2=(B′1)3∵y=A13+B13∴y0=A′0+B′0y1=A′1+B′2y2=A′2+B′1y0=−q2+(q24+p327)1/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√3+−q2−(q24+p327)1/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√3y1=−1+3‾‾√i2−q2+(q24+p327)1/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√3+−1−3‾‾√i2−q2−(q24+p327)1/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√3y2=−1−3‾‾√i2−q2+(q24+p327)1/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√3+−1+3‾‾√i2−q2−(q24+p327)1/2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√3∵x=y+ηη=−k13k1=ba∴y=x+b3a∵p=−(k1)23+k2q=2k3127−k1k23+k3

∴x0+b3a=−k3127+k1k26−k32+(k3127−k1k26−d2a)2+(k2−k213)327‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3+−k3127+k1k26−k32−14(2k3127−k1k23+k3)2+(k2−k213)327‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3x1+b3a=−1+3‾‾√i2−k3127+k1k26−k32+14(2k3127−k1k23+k3)2+(k2−k213)327‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3+−1−3‾‾√i2−k3127+k1k26−k32−14(2k3127−k1k23+k3)2+(k2−k213)327‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3x2+b3a=−1−3‾‾√i2−k3127+k1k26−k32+14(2k3127−k1k23+k3)2+(k2−k213)327‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3+−1+3‾‾√i2−k3127+k1k26−k32−14(2k3127−k1k23+k3)2+(k2−k213)327‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3

∵k1=ba,k2=ca,k3=da

∴x0=−b3a+−b327a3+bc6a2−d2a+14(2d327a3−bc3a2+da)2+(c3a−b29a2)3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3+−b327a3+bc6a2−d2a−14(2d327a3−bc3a2+da)2+(c3a−b29a2)3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3x1=−b3a+−1+3‾‾√i2−b327a3+bc6a2−d2a+14(2d327a3−bc3a2+da)2+(c3a−b29a2)3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3+−1−3‾‾√i2−b327a3+bc6a2−d2a−14(2d327a3−bc3a2+da)2+(c3a−b29a2)3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾⎷3x2=−b3a+−1−3‾‾√i2−b327a3+bc6a2−d2a+14(2d327a3−bc3a2+da)2+(c3a−b29a2)3‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾