[编程之美]阶乘问题

编程之美2.2，有两道关于阶乘的问题，第一个就是leetcode上的172题

172. Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

1、分解因子, 当且仅当 因子中出现 一对 (2,5)时, 最后结果会增加一个 trailing zero.

2、2的个数永远多于5个个数.

3、计算5的个数时, 最简单的方法是 SUM(N/5^1,  N/5^2, N/5^3...)

public static int trailingZeroes(int n) {
        int re=0;
        while(n>0){
        	re+=n/5;
        	n/=5;
        }
        return re;
    }

第二题：求n！的二进制中表示最低位的1的位置。

        求一个二进制数中最低一位1的位置，可以转化为求二进制数中右边起有多少个0，然后在加上1，就是第一个1的个数。

        那么，求右边起0的个数怎么求呢，明显是判断(n&1)==0，每次右移以为，知道不等于1，循环的次数就是0的个数。也就是说，每次都出除以2，知道不能被2整除。所以其实就是含有质因数2的个数。

        再回到这道题，按照上面的方法求n的阶乘中质因数2的个数，就是从1到n每个数含有质因数2的个数全部加起来，转换成公式就是(n/2)+(n/4)+(n/8)+(n/16)····，代码如下

	public static int jiechentg(int n){
		int re=0;
		while(n>0){
			n>>=1;
			re+=n;
		}		
		return re;
	}

        关于公式(n/2)+(n/4)+(n/8)+(n/16)····的推倒，求质因数2的个数

        (n/k)等于1，2，3···n中能被k整除的个数，

        所以，1，2，3···n中，能被2整除的中含有1个2的质因数，能被4整除的含有2个2的质因数，能被8整除的含有3个依次类推他们相加就得到了(n/2)+(n/4)+(n/8)+(n/16)····

总结：遇到阶问题，直接乘上去肯定超时，要试着找到所求问题与阶乘的关系，然后因式分解