hznu 1524 排队买票（dp）【类卡特兰构造模板】

有M个小孩到公园玩，门票是1元。其中N个小孩带的钱为1元，K个小孩带的钱为2元。售票员没有零钱，问这些小孩共有多少种排队方法，使得售票员总能找得开零钱。注意：两个拿一元零钱的小孩，他们的位置互换，也算是一种新的排法。（M<=10）

输入

输入一行，M,N,K(其中M=N+K,M<=10)。

输出

输出一行，总的排队方案。

样例输入

4 2 2

样例输出

8

http://hsacm.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1524

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map><span style="color:#0000cd;"><strong>
</strong></span>#include<vector>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int main(){
    int m,n,k;
    cin>>m>>n>>k;
    if(n<k)
        cout<<0<<endl; //2元小朋友比1元小朋友多 
    else{
	    int s1=1;
	    for(int i=1;i<=k;++i) //2元的小朋友内部全排列 
	        s1*=i;
	   	int s2=1;
	    for(int i=1;i<=n;++i) //1元的小朋友内部全排列 
	        s2*=i;
	    int dp[20][20]={0};
	    dp[1][0]=1;
	    dp[1][1]=1;
	    for(int i=2;i<=n;++i){
	        for(int j=0;j<=i;++j){
	            for(int g=0;g<=j;++g){
	                dp[i][j]+=dp[i-1][g];}}} //由i个1元小朋友和j个2元小朋友组成的队伍排法 
	    cout<<dp[n][k]*s2*s1<<endl;
	}
    return 0;
}

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<map>//ll dx[4]={0,0,-1,1};ll dy[4]={-1,1,0,0};  
#include<set>//  
#include<vector>  
#include<cmath>  
#include<stack>  
#include<string.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<cstdio>   
#include<string>  
#define mod 1000000007
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) (x) & (-x) 
using namespace std;
int main(){
	int m,n,k;  
    cin>>m>>n>>k; 
	int dp[20][20]={0};  
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		for(int j=0;j<=i;++j){
			if(j>0)
				dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
			dp[i][j]+=dp[i-1][j+1];
		}
	} 
    if(n<k){
        cout<<0<<endl; //2元小朋友比1元小朋友多   
        return 0;
    }
	int s1=1;  
    for(int i=1;i<=k;++i) //2元的小朋友内部全排列   
        s1*=i;  
    int s2=1;  
    for(int i=1;i<=n;++i) //1元的小朋友内部全排列   
        s2*=i; 
    cout<<dp[m][abs(n-k)]*s2*s1<<endl;      
} 

二维略难懂。

卡特兰数（适用类似本题的n==k情况，仅限于n==k）：

①1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中 0的个数要一直大于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢？

②我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。
卡特兰数的通项是c(2n, n)/(n+1)。

令h(1)＝1,h(0)=1，数满足递归式：    h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... +h(n-1)h(0) (其中n>=2) 

或：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);    该递推关系的解为：   

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)