划分树基础 —— HDU 2665 Kth number
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Kth number
Time Limit: 15000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 7186 Accepted Submission(s): 2298
For each test case, the first line contain two integer n and m (n, m <= 100000), indicates the number of integers in the sequence and the number of the quaere.
The second line contains n integers, describe the sequence.
Each of following m lines contains three integers s, t, k.
[s, t] indicates the interval and k indicates the kth big number in interval [s, t]
1 10 1 1 4 2 3 5 6 7 8 9 0 1 3 2
2
题意：
T组数据， 每组数据第一行有两个数 n，m。接下来一行有 n 个数， 接下来 m 行每行有3个数 l， r， k ，表示求区间[l，r] 内第 k 小的数。
思路：
可以做为划分树的入门题：
建树过程：
先将原数组 a[] （数组下标从 1 开始）的副本 sort_a[] 升序排序，以第 0 层为例：
mid = left + (right - left) / 2；然后按快速排序的思路对数组按原顺序进行划分，即比 sort_a[mid] 小的数放到下一层的左边；比 sort_a[mid] 大的数放到下一层的右边；与 sort_a[mid] 相等的数则根据下一层左边缺多少个数来进行填补。比如第 0 层 sort_a[mid] = 4；1，3，2 比 4 小， 放到下一层左边，而下一层左边长度为 mid - left + 1 = 4，所以要把一个 4 补到下一层左边；剩下的都放到右边。 下面各层递归处理。
然而并没有这么简单，每一层还要维护一个 num[] 域，num[i] 表示区间 [left, i] 中被分配到下一层左边的数有多少个。比如对于第 0 层，num[5] = 2，因为区间 [1, 5] 中被分配到第 1 层左边的数有 2 个（1 和 3）
查找过程：
划分树一般为这样的结构体：
typedef struct{
type a[N];
type num[N];
}Layer;
Layer lay[M]；// M = 20 层可以满足 n = 2^20 的要求。
由此看出划分树的空间复杂度为 M * N，N 很大时可能相当不理想。
比如这个例子， 对于 ( l = 3，r = 7，k = 2 ) 这个请求，第 0 层的查询过程为：
首先计算
sum = lay[0].a[r] - lay[0].a[l-1] = 2 >= k = 2
这里要注意如果 left == l，则 sum = lay[0].a[r]；
所以下一层的查询应该在左边进行，可是下一层的查询区间怎样确定呢？
可以知道，在不断往下的时候区间 [l，r] 是不断缩小的（下图红色部分）。第 1 层左边的蓝色的 1 是缩小的部分，右边的蓝色的 2 也是缩小的部分；仔细分析可以发现第 1 层左边缩小的个数是第 0 层的 num[l-1]；第一层右边缩小的个数是第 0 层的 num[right] - num[r-1]。
左子树的起始下标为 left，右子树的起始下标为 mid + 1。
因此如果 sum >= k 说明 [l，r] 区间的第 k 小的数在第一层的左边，进入第一层的左子树；而区间 [l, r] 应改为 [ left + num[l-1]，left + num[r] - 1 ]；
而 sum < k 则进入第一层的右子树；而区间 [l, r] 应该为 [ mid + 1 + l - left - num[l-1]，mid + 1 + r - left - sum[r] ]
划分树的基础部分大概就是这样，此题代码把输入改改可以解决 POJ 2104 和 POJ 2761。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 100010
int sort_a[N];
typedef struct{
int a[N];
int num[N];
}Layer;
Layer lay[25];
int cmp(void const *_a, void const *_b)
{
int *a = (int *)_a;
int *b = (int *)_b;
return *a - *b;
}
void build(int left, int right, int cur)
{
int i;
int mid;
int lson_p;
int rson_p;
int put_left;
if(left == right)
return;
mid = left + (right - left) / 2;
put_left = mid - left + 1;
for(i = left; i <= right; i++)
if(lay[cur].a[i] < sort_a[mid])
put_left--;
lson_p = left;
rson_p = mid + 1;
for(i = left; i <= right; i++){
if(i == left)
lay[cur].num[i] = 0;
else
lay[cur].num[i] = lay[cur].num[i-1];
if(lay[cur].a[i] < sort_a[mid]){
lay[cur].num[i]++;
lay[cur+1].a[lson_p++] = lay[cur].a[i];
}
else if(lay[cur].a[i] == sort_a[mid]){
if(put_left){
put_left--;
lay[cur].num[i]++;
lay[cur+1].a[lson_p++] = lay[cur].a[i];
}
else
lay[cur+1].a[rson_p++] = lay[cur].a[i];
}
else
lay[cur+1].a[rson_p++] = lay[cur].a[i];
}
build(left, mid, cur + 1);
build(mid + 1, right, cur + 1);
}
int Query(int left, int right, int cur, int l, int r, int k)
{
int mid;
int s;
int ss;
if(left == right)
return lay[cur].a[left];
mid = left + (right - left) / 2;
if(left == l){
s = 0;
ss = lay[cur].num[r];
}
else{
s = lay[cur].num[l-1];
ss = lay[cur].num[r] - s;
}
if(ss >= k)
return Query(left, mid, cur + 1, left + s, left + ss + s - 1, k);
else
return Query(mid + 1, right, cur + 1, mid + 1 + l - left - s, mid + 1 + r - left - ss - s, k - ss);
}
int main()
{
#if 0
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--){
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
scanf("%d", sort_a + i);
lay[0].a[i] = sort_a[i];
}
qsort(sort_a, n, sizeof(int), cmp);
build(0, n - 1, 0);
for(i = 0; i < m; i++){
int l, r, k;
scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
printf("%d\n", Query(0, n - 1, 0, l - 1, r - 1, k));
}
}
return 0;
}