树的重心及其一些性质

重心的定义是：

找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

(一)
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

(二)
把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

(三)

把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

练习一： POJ1655 

题意：求删除这个点后最大子树的节点数，以及这个点的编号，如果有多个点满足，求编号最小的点。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 20010*2;

struct nod{
    int to,next;
}edge[maxn];

int son[maxn],head[maxn],ip,n;

int ans,num;

bool vis[maxn];

void init(){
    num=maxn*maxn;
    ip=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(head,-1,sizeof(head));
}

void add(int u,int v){
    edge[ip].to=v;
    edge[ip].next=head[u];
    head[u]=ip++;
}

void dfs(int u){
    vis[u]=1;
    son[u]=0;
    int maxson=0;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v = edge[i].to;
        if(!vis[v]){
            dfs(v);
            son[u]+=son[v]+1;
            maxson=max(maxson,son[v]+1);
        }
    }
    maxson=max(maxson,n-son[u]-1);
    if(maxson<num||maxson==num&&u<ans){
        ans=u;
        num=maxson;
    }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        init();
        for(int i=0;i<n-1;i++){
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
            add(v,u);
        }
        dfs(1);
        printf("%d %d\n",ans,num);
    }
    return 0;
}

练习二： POJ3107

题意：求一棵树的所有重心并从小到大输出

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1e5+10;

struct nod {
    int to,next;
} edge[maxn];

int head[maxn],ans[50000];
int n,num,ip,maxsize;
int son[maxn];
bool vis[maxn];

void init() {
    ip=0,num=0;
    maxsize = maxn*1000;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(head,-1,sizeof(head));
}

void add(int u,int v) {
    edge[ip].to=v;
    edge[ip].next=head[u];
    head[u]=ip++;
}

void dfs(int u) {
    vis[u]=1;
    son[u]=0;
    int tmpmax=0;
    for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next) {
        int v = edge[i].to;
        if(!vis[v]) {
            dfs(v);
            son[u]+=son[v]+1;
            tmpmax=max(tmpmax,son[v]+1);
        }
    }
    tmpmax = max(tmpmax,n-son[u]-1);
    if(tmpmax < maxsize) {
        num = 1;
        ans[0] = u;
        maxsize = tmpmax;
    } else if(tmpmax == maxsize) {
        ans[num++] = u;
    }
}

int main() {
    while(~scanf("%d",&n)) {
        init();
        for(int i=0; i<n-1; i++) {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
            add(v,u);
        }
        dfs(1);
        sort(ans,ans+num);
        for(int i=0; i<num-1; i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[num-1]);
    }
    return 0;
}