HDU 2516 取石子游戏(斐波那契博弈)

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当且只当n是一个斐波那契数的时候是必败态。可以写出几组数据找规律就可以发现这个规律。

证明如下:

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样,这里需要借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。


先看看FIB数列的必败证明:


1、当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立。


2、假设当i<=k时,结论成立。


     则当i=k+1时,f[i] = f[k]+f[k-1]。


     则我们可以把这一堆石子看成两堆,简称k堆和k-1堆。


    (一定可以看成两堆,因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1],则后手可以直接取完f[k],因为f[k] < 2*f[k-1])


     对于k-1堆,由假设可知,不论先手怎样取,后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。


     如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3,则这小堆所剩的石子数小于2y,即后手可以直接取完,此时x=f[k-1]-y,则x<=2/3*f[k-1]。


     我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小,由数学归纳法不难得出,后者大。


     所以我们得到,x<1/2*f[k]。


     即后手取完k-1堆后,先手不能一下取完k堆,所以游戏规则没有改变,则由假设可知,对于k堆,后手仍能取到最后一颗,所以后手必胜。


     即i=k+1时,结论依然成立。


对于不是FIB数,首先进行分解。


分解的时候,要取尽量大的Fibonacci数。


比如分解85:85在55和89之间,于是可以写成85=55+30,然后继续分解30,30在21和34之间,所以可以写成30=21+9,


依此类推,最后分解成85=55+21+8+1。


则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。(a1>a2>……>ap)


我们令先手先取完f[ap],即最小的这一堆。由于各个f之间不连续,则a(p-1) > ap  + 1,则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆,且不能一次取完。


此时后手相当于面临这个子游戏(只有f[a(p-1)]这一堆石子,且后手先取)的必败态,即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。


同理可知,对于以后的每一堆,先手都可以取到这一堆的最后一颗石子,从而获得游戏的胜利。

代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <ctype.h>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>

using namespace std;
int fib[50];
int main()
{
    int i, n;
    fib[0]=1;
    fib[1]=2;
    for(i=2;i<45;i++)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
    {
        int flag=0;
        for(i=0;i<45;i++)
        {
            if(fib[i]==n)
            {
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag)
            puts("Second win");
        else
            puts("First win");
    }
    return 0;
}


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