01背包问题

问题描述：假定背包的最大容量为W，N件物品，每件物品都有自己的价值和重量，将物品放入背包中使得背包内物品的总价值最大。可以参考链接：

http://www.importnew.com/13072.html

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假设背包的最大容量为10，有4件物品，每件物品的重量数组为：[5,4,6,3];相应的每件物品的价值数组为：[10，40，30，50]。

这个问题需要用到动态规划，所以我们首先需要知道这个问题的状态转移方程：假设我们用dp[i][j]表示前i件物品所占据容量j时所获得的最大价值，其中i表示物品的序号，j表示体积。由此，我们可以看出i的取值范围[1-4],j的取值范围为[1-10]。

状态转移方程：dp[i][j] = max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]};其中v[]表示重量数组，w[]表示价值数组。

相应的中文描述为：我们在当前重量下放某一个物品时，有两种可能，放这个物品或者不放这个物品。所以当前dp[i][j]的取值为：若不放此物品，即为前i-1个物品所占据体积的最大价值。若确定放这个物品时，首先我们必须加上这个物品本身的价值，然后我们再计算当前剩余重量（当前重量-占据的重量）可否盛下前i-1个物品。若可以盛的下，就需要再加上前i-1个物品占据剩余的（j-v[i]）体积时所获得的最大价值，用dp[i-1][j-v[i]]:

总的来说，这个是个前向取值的过程，他的每一部分解都是看其前面的值。

我们举例来看：

在初始时，假设书包的重量为0，则没有物品放置在书包内，所以第一列全为0，当没有任何物品放置在书包时，书包的重量为0，在任何重量中，其所获得的价值为0，所以第一行全为0。

 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Item1	0
Item2	0
Item3	0
Item4	0

 

现在，我们放入第一个物品，其重量为5，价值为10。第二行（Item1）表示放入第一个物品，在前4列中的重量<5,所以不能放，到第5列重量为5时，放入第一个物品，所获得的价值为10。在第6列，此时重量为6，还剩余1的重量，此时数据集中所有物品的重量均>1,没有办法再次放入另一个物品,7、8、9、10同理，所以在6、7、8、9、10列中，书包的价值都为10。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Item1	0	0	0	0	0	10	10	10	10	10	10
Item2	0
Item3	0
Item4	0

 

</pre><p></p><p>现在我们假设放入第二个物品，其重量为4，价值为40。第三行表示放入第二个物品，同理1、2、3列为0，在第4列，放入4，价值为40，在第5列，重量为5，不放入4，价值为10，放入4，价值基本上有40，剩余1，放不下前i件物品。所以此时第5列为40，第六列同理，第七列时，不放入4时的价值为10，放入4时，价值基本上有40，剩余3，不够所需的体积。第8列同理，第九列时，不放入4时价值为10，放入4时基本的价值为40，同时剩余5的重量，前1个物品所占5的最大价值为10，两者可以共存，价值为50，此时最大值为50。</p><table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0"><tbody><tr><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>1</p></td><td valign="top"><p>2</p></td><td valign="top"><p>3</p></td><td valign="top"><p>4</p></td><td valign="top"><p>5</p></td><td valign="top"><p>6</p></td><td valign="top"><p>7</p></td><td valign="top"><p>8</p></td><td valign="top"><p>9</p></td><td valign="top"><p>10</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item1</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item2</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>50</p></td><td valign="top"><p>50</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item3</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item4</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td></tr></tbody></table><p> </p><p>现在我们放入第三个物品，价值为6，中量为30。第四行表示放入第三个物品。在第四列，时，不放入第三个物品，最大价值为前i-1个物品占据4重量时的最大价值，第五列同理，在第六列时：</p><p>1.      当放入的重量< 第三个物品的重量时，不放入第三个物品，此时的最大价值为40</p><p>2.      当放入的重量 >= 放入第三个物品时，此时的基本价值为30，</p><p>2.1  查看能否与前面的物体共存，具体为，剩余0空间，最大价值我0,总和为30。</p><p>2.2  比较当前重量不放入第三个物品时的最大价值，求其最大值。最终取40.</p><p>第七列同理，第八列同理，第9列同理，第10列时：</p><p>1.      10>6，所以可以放入。此时的基本价值为30.</p><p>1.1   查看共存，剩余4，前2个物品占据4的最大价值为40，可以共存为70。</p><p>1.2   比较求最大值。当不放入第三个物品时的最大价值为50。最大值为70。</p><table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0"><tbody><tr><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>1</p></td><td valign="top"><p>2</p></td><td valign="top"><p>3</p></td><td valign="top"><p>4</p></td><td valign="top"><p>5</p></td><td valign="top"><p>6</p></td><td valign="top"><p>7</p></td><td valign="top"><p>8</p></td><td valign="top"><p>9</p></td><td valign="top"><p>10</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item1</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td><td valign="top"><p>10</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item2</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>50</p></td><td valign="top"><p>50</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item3</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>40</p></td><td valign="top"><p>50</p></td><td valign="top"><p>70</p></td></tr><tr><td valign="top"><p>Item4</p></td><td valign="top"><p>0</p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td><td valign="top"><p> </p></td></tr></tbody></table><p>现在放入第4个物品，其重量为3,价值为50，第5行表示加入第四个物品。在1、2、3均小于第4个物品的重量3，不加入，在第4列：</p><p>1.      4>=4，加入4，此时的基本价值为50。</p><p>1.1   查看共存。加入了4时，4-4=0，无法共存。为50。</p><p>1.2   比较不加入。加入前40，加入后50，最大值为50。</p><p>第5列、第6列同理，第7列：</p><p>1.      7>4,可以加入4，此时的基本价值为50.</p><p>1.1   查看共存。剩余7-3=4，此重量的前3个物品、重量为4的价值为40，总共为90</p><p>1.2   比较。加入前40，最大值90.</p><p>第8列:</p><p>1.      8>3，可以加入，此时的基本价值为50</p><p>1.1   查看共存，剩余8-3=5，此重量的前3个物品、重量为5的价值为40，总共为90.</p><p>1.2   比较，加入前40，最大值为90.</p><p>同理第9列和第10列。</p><pre name="code" class="java" style="font-size: 14px; line-height: 21px;">package niuke;
import java.util.*;

public class BagQuestion {
	public static void main(String[] args){
		Scanner scan = new Scanner(System.in);
		while(scan.hasNext()){
			int total = scan.nextInt();
			int number = scan.nextInt();
			int[] price = new int[number];
			int[] value = new int[number];
			for(int i=0;i<number;i++){
				price[i] = scan.nextInt();
				value[i] = scan.nextInt();
			}
			System.out.println(Arrays.toString(price));
			System.out.println(Arrays.toString(value));
			int[][] array = new int[number+1][total+1];
//			for(int i=0;i<total+1;i++){
//				array[0][i]=0;
//			}
//			for(int j=0;j<number+1;j++){
//				array[j][0]=0;
//			}
			for(int i=1;i<number+1;i++){
				for(int j=1;j<total+1;j++){
					if(price[i-1] <= j){
						array[i][j] = Math.max(array[i-1][j], array[i-1][j-price[i-1]]+value[i-1]);
					}else{
						array[i][j] = array[i-1][j];
					}
				}
			}
			System.out.println(array[number][total]);
		}
	}
}