[置顶] 矩阵专题(续)
哈哈哈，失踪人员回归。最近总是在忙一些乱七八糟的事情，终于有了一段空闲时间可以刷刷题了。学姐给我准备了kuangbin先生的矩阵专题，作为我的矩阵终结专题。（初学者请先看我的矩阵专题前三篇）
第一题 CodeForces 450B
分析：这道题看似是一道矩阵题，但是实际上是一道模拟题。看题目给出的公式 f(i)=f(i-1)+f(i+1),i>=2，那么转换一下得到了f(i)=f(i-1)-f(i-2),i>=3，当然这题可以使用矩阵快速幂来算，但是多此一举。不妨将f(1)=x f(2)=y代进去计算前几项，那么依次得到 x y y-x -x -y x-y x y ......，我们发现这个数列是有循环节的，而且必定为6，那么只需要计算前六个，n取一下模即可得到答案。注意：x y可能是负数，但是答案一定得是非负整数。
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 200000+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
ll dat[10];
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
ll n;
scanf("%I64d %I64d",&dat[1],&dat[2]);
dat[1]=(dat[1]+mod)%mod;
dat[2]=(dat[2]+mod)%mod;
scanf("%I64d",&n);
dat[0]=(dat[1]-dat[2]+mod)%mod;
for(int i=3;i<6;i++)
dat[i]=(dat[i-1]-dat[i-2]+mod)%mod;
printf("%I64d\n",dat[n%6]);
return 0;
}
题目大意：给你一个矩阵，矩阵第一行中，第一个数为空，之后的数就是233，2333，23333。。。一直轮下去。然后，矩阵第一列上，第一个数为空（即第一行第一列的那个数为空），之后的所有数会给出。接着，告诉你这个矩阵其他元素都是按照maze[i][j]=maze[i-1][j]+maze[i][j-1]的规律来计算的，让你求出矩阵右下角的数是多少。
分析：一开始没有往矩阵方面想，前段时间数论做多了之后很容易就发现最后的maze[n][m]的数可以通过已知的数乘一个数（满足一个组合数，杨辉三角），然后相加得到。虽然我公式推出来了，但是复杂度太高，而且写起来还麻烦，就被我pass了，有兴趣的朋友可以自己推一推写一写。然后回过去想矩阵做法的话，立刻就想到了（提示n的值很大，但是m的值不大）。将输入的23(第一个23是补充上去的，为了和之后的23333对齐),maze[1][0],maze[2][0],maze[3][0],......作为初始值，根据公式很容易看出转换的矩阵，除了第一个233是前一个23乘10加3，其他的都是maze[i][j]=maze[i-1][j]+maze[i][j-1]。
![[置顶] 矩阵专题(续)_第1张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/412d0b4f552b430fa8ea0d925f6982ee.jpg)
#include <map>
#include <set>
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#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 10+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
ll mul(ll a,ll b){
ll ans=0;
while(b){
if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%10000007;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,int n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int n,m;
while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
matrix ans;
ans.init(n+2);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&ans.maze[0][i]);
ans.maze[0][0]=23;
ans.maze[0][n+1]=1;
matrix ant;
ant.init(n+2);
for(int i=0;i<=n;i++)
ant.maze[0][i]=10,ant.maze[n+1][i]=3;
ant.maze[n+1][n+1]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
ant.maze[i][j]=1;
ant=qlow(ant,m);
ans=ans*ant;
printf("%lld\n",ans.maze[0][n]);
}
return 0;
}
分析：简单来看就是一个数列计算问题。F(0)=0.如果i为奇数，那么F(i)=2*F(i-1)+1；如果i为偶数，那么F(i)=2*F(i-1)。很显然是一道矩阵问题，我们不妨将两步合成一步来做F(i)=4*F(i-2)+2,i为偶数，那么我们按照2个2个来计算，计算到不超过n的最大偶数。最后，如果n为奇数的话，再计算一步即可。
![[置顶] 矩阵专题(续)_第2张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/5fbbbb918dda4c94a633cfd4a1557021.jpg)
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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 0+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
int m;
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int n;
while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
matrix ant;
ant.init(2);
ant.maze[0][0]=4;
ant.maze[1][0]=2;
ant.maze[1][1]=1;
ant=qlow(ant,n/2);
ll ans=ant.maze[1][0];
if(n&1)ans=(ans*2+1)%m;
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
分析：不会做，看了别人的题解才会的。这里我讲一下思路，作为纯DP题的话，转移方程很好想，但是score太大，无法记忆化搜索；但是作为纯矩阵题的话，一开始完全想不到如何构造矩阵。然后把两者合在一起想，就发现还是矩阵的套路，但是要加上DP的思想（以DP的状态为转移）。将一开始所有可能转移的数据全部算出来作为初始数据，部分数据直接移位就行了，主要就是最后一行的数据（要计算的新数据），需要用到前面所有数据来计算。
我知道读者肯定没有看懂，无妨，请转到这位大神的博客，他写得很好，这里我贴下我的代码
http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/5256508.html
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
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#include <bitset>
#include <string>
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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 150+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
//const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
int n,m,base,score;
unsigned int d[40][10];
struct matrix{
int n;
unsigned int maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]+=maze[i][k]*rhs.maze[k][j];
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
unsigned int solve(){
scanf("%d %d",&base,&score);
if(base==2)return 1;
m=(base-1)*(base-1);
n=base*m;
for(int i=1;i<base;i++)
d[0][i]=1;
for(int i=1;i<m;i++)
for(int j=0;j<base;j++){
d[i][j]=0;
for(int k=0;k<base;k++)
if(k!=j&&(j-k)*(j-k)<=i){
d[i][j]+=d[i-(j-k)*(j-k)][k];
}
}
/*for(int i=0;i<m;i++){
for(int j=0;j<base;j++)
cout<<d[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
if(score<m){
unsigned int cnt=0;
for(int i=0;i<base;i++)
cnt+=d[score][i];
return cnt;
}
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<base;j++)
ans.maze[0][i*base+j]=d[i][j];
matrix ant;
ant.init(n);
for(int j=0;j<(m-1)*base;j++)
ant.maze[j+base][j]=1;
for(int j=(m-1)*base;j<n;j++){
int ss=m,bb=j%base;
for(int i=0;i<base;i++)
if(i!=bb){
int sst=ss-(i-bb)*(i-bb);
if(sst>=0){
ant.maze[sst*base+i][j]=1;
}
}
}
/*for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++)
cout<<ant.maze[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
ant=qlow(ant,score-m+1);
ans=ans*ant;
unsigned int cnt=0;
for(int i=0;i<base;i++)
cnt+=ans.maze[0][n-1-i];
return cnt;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int t;
scanf("%d",&t);
for(int cas=1;cas<=t;cas++)
printf("Case %d: %u\n",cas,solve());
return 0;
}
分析：一看完题目，没有多想就开始撸矩阵快速幂，想直接按照题意来计算。但是很可惜，连编译都没有过，一个是因为我的矩阵模版太烂了开不了n*n的矩阵，第二个是没有找对方法复杂度太高。直接按照题意来计算的话，那么就是M' = (A*B)^(一个数，具体什么数不用管),但是A是n*k的矩阵，B是k*n的矩阵，A*B就是n*n的矩阵，不是很好计算。那么我们就想到了线性代数的一个方法，将它拆开来。有M' = A* (B*A)^(一个数，是前面那个大数减一)*B，这样的话，可以看到B*A是k*k的矩阵，而k是一个很小的数，很容易计算。
#include <map>
#include <set>
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#include <stack>
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#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 0+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
//const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
struct matrix{
int n;
int maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%6;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,int n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int A[1010][10];
int B[10][1010];
int C[1010][10];
int D[1010][1010];
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int n,k;
while(scanf("%d %d",&n,&k),n||k){
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
scanf("%d",&A[i][j]);
for(int i=0;i<k;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&B[i][j]);
matrix ans;
ans.init(k);
for(int i=0;i<k;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int h=0;h<n;h++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+B[i][h]*A[h][j])%6;
ans=qlow(ans,n*n-1);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++){
C[i][j]=0;
for(int h=0;h<k;h++)
C[i][j]=(C[i][j]+A[i][h]*ans.maze[h][j])%6;
}
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++){
D[i][j]=0;
for(int h=0;h<k;h++)
D[i][j]=(D[i][j]+C[i][h]*B[h][j])%6;
}
ll ant=0;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
ant+=D[i][j];
cout<<ant<<endl;
}
return 0;
}
分析：比较水的矩阵题，题目看懂没什么大问题。a0，a1，。。。a(n-1)就是初始值，然后直接按照题目给的数据构造矩阵即可。
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 50+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%1000;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,int n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int n,r;
scanf("%d %d",&n,&r);
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lld",&ans.maze[0][i]);
matrix ant;
ant.init(n);
for(int i=0;i<n;i++){
int k;
scanf("%d",&k);
while(k--){
int a;
scanf("%d",&a);
ant.maze[a][i]=1;
}
}
ant=qlow(ant,r);
ans=ans*ant;
int cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(cnt)putchar(' ');
cnt=1;
printf("%lld",ans.maze[0][i]);
}
puts("");
}
return 0;
}
分析：很简单的一道矩阵题，比较常规。直接按照斐波那契数列的矩阵构造方法即可，没有任何坑点。
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 0+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
ll m;
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
ll a,b,n;
scanf("%lld %lld %lld %lld",&a,&b,&n,&m);
if(n==0){
printf("%lld\n",a);
continue;
}
if(m==1)m=10;
else if(m==2)m=100;
else if(m==3)m=1000;
else m=10000;
//cout<<m<<endl;
matrix ans;
ans.init(2);
ans.maze[0][1]=ans.maze[1][0]=ans.maze[1][1]=1;
ans=qlow(ans,n-1);
printf("%lld\n",(a*ans.maze[0][1]+b*ans.maze[1][1])%m);
}
return 0;
}
分析：以前在poj上做过一个几乎一模一样的，可以用二分做，也可以直接矩阵快速幂。（不明白去看一前面的矩阵专题）注意一下，结束条件。
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 90+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%10;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int n;
ll k;
while(scanf("%d %lld",&n,&k),n){
matrix ans;
ans.init(n<<1);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++){
scanf("%lld",&ans.maze[i][j]);
ans.maze[i][j]%=10;
ans.maze[i][j+n]=ans.maze[i][j];
}
for(int i=0;i<n;i++)ans.maze[i+n][i+n]=1;
ans=qlow(ans,k);
for(int i=0;i<n;i++){
int cnt=0;
for(int j=0;j<n;j++){
if(cnt)putchar(' ');
cnt=1;
printf("%lld",ans.maze[i][j+n]);
}
puts("");
}
puts("");
}
return 0;
}
分析：题目给你a+b与ab的值，让你求出a^n+b^n。题目描述很简单，解法也比较好想到。对于a^n+b^n，那么考虑a^(n-1)+b^(n-1)，两者之间的联系是a^n+b^n = [a^(n-1)+b^(n-1)] * (a + b) - ab * (a^(n-2) + b^(n-2)) , n>=2。那么可以构造矩阵
![[置顶] 矩阵专题(续)_第3张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/c9eba1a1b1c647a2b1a7b9a8d032d0aa.jpg)
注意：-ab要使用加分逆元变成正数！还有p=0，q=0不一定代表输入结束！（特别坑，在这个地方上耍我，出题人一定缺少关爱!）
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 0+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]+=maze[i][k]*rhs.maze[k][j];
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
ll p,q,k;
while(scanf("%lld %lld",&p,&q)){
if(!(~scanf("%lld",&k))){
return 0;
}
if(k==0){
puts("2");
continue;
}
matrix ans;
ans.init(2);
ans.maze[0][0]=2;ans.maze[0][1]=p;
matrix ant;
ant.init(2);
ant.maze[1][0]=1;ant.maze[0][1]=-q;
ant.maze[1][1]=p;
ant=qlow(ant,k-1);
ans=ans*ant;
cout<<ans.maze[0][1]<<endl;
}
return 0;
}
分析：题目不是很难，而且矩阵很快就可以构造出来
![[置顶] 矩阵专题(续)_第4张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/d933cee3a524428da9cc9d813d9a88fc.jpg)
但是呢，有个小问题，这个矩阵太大了，n可以到500，说不定会超时（我没写过，不知道是不是一定超时）。然后这里需要用到同构矩阵优化，用一维数组模拟二维矩阵乘法。（写这道题的时候，脑子特别不清醒，想了好久才把对应关系找到，汗）不知道的可以看我前面的矩阵专题！
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 500+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
//const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
ll m;
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
ans.maze[i]=(ans.maze[i]+maze[(i+n-j)%n]*rhs.maze[j])%m;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,int n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
ans.maze[0]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
ll dat[maxn];
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int n,d,k;
while(~scanf("%d %lld %d %d",&n,&m,&d,&k)){
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lld",&dat[i]);
matrix ans;
ans.init(n);
ans.maze[0]=1;
for(int i=1;i<=d;i++)
ans.maze[i]=ans.maze[n-i]=1;
ans=qlow(ans,k);
/*for(int i=0;i<n;i++)
cout<<ans.maze[i]<<" ";
cout<<endl;*/
int cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++){
if(cnt)putchar(' ');
cnt=1;
ll ant=0;
for(int j=0;j<n;j++)
ant=(ant+dat[j]*ans.maze[(j+n-i)%n])%m;
printf("%lld",ant);
}
puts("");
}
return 0;
}
分析：说实话，我感觉题目有点扯淡，而且答案和网上搜到的题解更加扯淡。直接上我google到的结论把，给一个n，如果n为奇数或者n小于8，那么答案是0；否则答案为 （第n-4个斐波那契数 - n/2 + 1 ）。可能有大神能够推出这个结论把 =。=
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 0+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
//const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
const ll mm = 987654321ll;
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mm;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
int p;
while(scanf("%d",&p),p){
if((p&1)||p<8){
puts("0");
continue;
}
matrix ans;
ans.init(2);
ans.maze[0][0]=ans.maze[1][0]=ans.maze[0][1]=1;
ans=qlow(ans,p-4);
printf("%lld\n",(ans.maze[0][0]-p/2+1+mm)%mm);
}
return 0;
}
分析：这道题目，看似很难不好算，但是没有离开矩阵的核心。先求递推式，然后构造矩阵，最后代码。
![[置顶] 矩阵专题(续)_第5张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/da2e50812c2640bcaeed8d3e00cde9b8.jpg)
![[置顶] 矩阵专题(续)_第6张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/e33b691b9e0e44369803ff64971a8273.jpg)
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 80+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%mod;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
ll n;
int k;
scanf("%I64d %d",&n,&k);
if(n==1){
puts("1");
return 0;
}
matrix ans;
ans.init(2*(k+1)+1);
for(int i=0;i<k+1;i++)
ans.maze[0][i]=1;
for(int i=k+1;i<2*(k+1);i++)
ans.maze[0][i]=(ans.maze[0][i-1]<<1)%mod;
ans.maze[0][2*(k+1)]=ans.maze[0][2*(k+1)-1]+1;
//for(int i=0;i<=2*(k+1);i++)
// cout<<ans.maze[0][i]<<endl;
matrix ant;
ant.init(2*(k+1)+1);
for(int i=0;i<k+1;i++)
ant.maze[i+k+1][i]=1;
ant.maze[k+1][k+1]=1;
for(int j=1;j<k+1;j++)
for(int i=0;i<=j;i++)
ant.maze[i+k+1][j+k+1]=(ant.maze[k+1+i][k+j]+ant.maze[i+k][j+k])%mod;
for(int j=0;j<k+1;j++)
for(int i=0;i<=j;i++)
ant.maze[i][j+k+1]=ant.maze[i+k+1][j+k+1]*(1ll<<(j-i))%mod;
for(int i=0;i<2*(k+1);i++)
ant.maze[i][2*(k+1)]=ant.maze[i][2*(k+1)-1];
ant.maze[2*(k+1)][2*(k+1)]=1;
//for(int i=0;i<=2*(k+1);i++){
// for(int j=0;j<=2*(k+1);j++)
// cout<<ant.maze[i][j]<<" ";
// cout<<endl;
//}
ant=qlow(ant,n-2);
ans=ans*ant;
printf("%I64d\n",ans.maze[0][2*(k+1)]);
return 0;
}
分析：这道就是题目难懂，解法上是一道常规的矩阵题。（题目意思太麻烦了，自己百度把）
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 0+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
ll x;
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator *(const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%x;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
ll sx,sy,dx,dy,t;
scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&x,&sx,&sy,&dx,&dy,&t);
matrix ans;
ans.init(6);
ans.maze[0][0]=ans.maze[0][1]=ans.maze[1][1]=1;
ans.maze[1][2]=ans.maze[1][3]=ans.maze[1][4]=1;
ans.maze[1][5]=ans.maze[2][4]=ans.maze[2][5]=ans.maze[2][3]=1;
ans.maze[3][2]=ans.maze[3][4]=ans.maze[3][5]=1;
ans.maze[4][2]=ans.maze[4][4]=ans.maze[5][3]=ans.maze[5][5]=1;
ans.maze[0][2]=ans.maze[0][3]=ans.maze[0][4]=2;
ans.maze[2][2]=ans.maze[3][3]=ans.maze[0][5]=2;
ans=qlow(ans,t);
matrix ant;
ant.init(6);
ant.maze[0][0]=1;ant.maze[0][2]=sx-1;ant.maze[0][3]=sy-1;
ant.maze[0][4]=(dx%x+x)%x;ant.maze[0][5]=(dy%x+x)%x;
ant=ant*ans;
printf("%I64d %I64d\n",ant.maze[0][2]+1,ant.maze[0][3]+1);
return 0;
}
分析：是一道非常有意思的矩阵题。首先求前n个斐波那契数的和，比较好求，利用矩阵轻松求解。然后，后面的矩阵构造的话，尝试性的构造几个，可以得出规律：只有非零偶数可以构造出这种矩阵，而且该矩阵第一行全为1；然后抛开第一行和第一列不看，就看n*n矩阵右下角那个(n-1)*(n-1)的子矩阵，这个子矩阵的主对角线和主对角线上半个三角形全填上-1；在第二行第一列填上0；在倒数(n-2)/2个行上，对于每一行最左边的一个-1的左边一格填上0；然后其他空白地方都填上1。
![[置顶] 矩阵专题(续)_第7张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/61174e8db45d4bebbff187ca68aa3855.jpg)
我的代码Visual C++可以过，但是 GNU C++过不了，实在搞不清楚为什么，迷！
#include <map> #include <set> #include <ctime> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include <bitset> #include <string> #include <vector> #include <cstdio> #include <cctype> #include <fstream> #include <cstdlib> #include <sstream> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") using namespace std; #define maxn 0+10 #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 #define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x)) #define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++) #define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++) #define pii pair<int,int> #define mp make_pair #define FI first #define SE second #define IT iterator #define PB push_back #define Times 10 typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double ld; const double eps = 1e-10; const double pi = acos(-1.0); const ll mod = 1e9+7; const int inf = 0x3f3f3f3f; inline void RI(int& x) { x=0; char c=getchar(); while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar(); bool flag=1; if(c=='-') { flag=0; c=getchar(); } while(c<='9'&&c>='0') { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); } if(!flag)x=-x; } //-------------------------------------------------- ll m; struct matrix{ int n; ll maze[maxn][maxn]; void init(int n){ this->n=n; clr(maze,0); } matrix operator *(const matrix& rhs){ matrix ans; ans.init(n); for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) for(int k=0;k<n;k++) ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%m; return ans; } }; matrix qlow(matrix a,ll n){ matrix ans; ans.init(a.n); for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1; while(n){ if(n&1)ans=ans*a; a=a*a; n>>=1; } return ans; } int main(){ //freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin); int t; scanf("%d",&t); for(int cas=1;cas<=t;cas++){ ll n; int anw; scanf("%lld %lld",&n,&m); matrix ans; ans.init(3); ans.maze[0][0]=ans.maze[0][1]=1; ans.maze[0][2]=2; matrix ant; ant.init(3); ant.maze[0][1]=ant.maze[0][2]=ant.maze[1][0]=1; ant.maze[1][1]=ant.maze[1][2]=ant.maze[2][2]=1; ant=qlow(ant,n-2); ans=ans*ant; anw=ans.maze[0][2]; printf("Case %d: ",cas); if(anw==0||anw%2){ puts("No"); } else { puts("Yes"); int cnt=0; for(int i=0;i<anw;i++){ if(cnt)putchar(' '); cnt=1; putchar('1'); } puts(""); cnt=0; for(int i=0;i<anw;i++){ if(cnt)putchar(' '); cnt=1; if(i==0)putchar('0'); else printf("-1"); } puts(""); for(int i=0;i<anw-2;i++){ cnt=0; if(i<(anw-2)/2){ for(int j=0;j<anw;j++){ if(cnt)putchar(' '); cnt=1; if(j<i+2)putchar('1'); else printf("-1"); } } else { for(int j=0;j<anw;j++){ if(cnt)putchar(' '); cnt=1; if(j<i+1)putchar('1'); else if(j==i+1)putchar('0'); else printf("-1"); } } puts(""); } } } return 0; }
第十五题 UVA 10518
分析：题目首先得看懂，不懂的自己百度把。其实就是求一个类斐波那契数列，F(1)=1，F(2)=1，F(i)=F(i-1)+F(i-2)+1，i>=3
![[置顶] 矩阵专题(续)_第8张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/cb19be8b095641a9bec91ac13cab4be8.jpg)
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
#define maxn 10+10
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define FI first
#define SE second
#define IT iterator
#define PB push_back
#define Times 10
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
const double eps = 1e-10;
const double pi = acos(-1.0);
const ll mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
inline void RI(int& x)
{
x=0;
char c=getchar();
while(!((c>='0'&&c<='9')||c=='-'))c=getchar();
bool flag=1;
if(c=='-')
{
flag=0;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0')
{
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
if(!flag)x=-x;
}
//--------------------------------------------------
ll b;
struct matrix{
int n;
ll maze[maxn][maxn];
void init(int n){
this->n=n;
clr(maze,0);
}
matrix operator * (const matrix& rhs){
matrix ans;
ans.init(n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
for(int k=0;k<n;k++)
ans.maze[i][j]=(ans.maze[i][j]+maze[i][k]*rhs.maze[k][j])%b;
return ans;
}
};
matrix qlow(matrix a,ll n){
matrix ans;
ans.init(a.n);
for(int i=0;i<a.n;i++)ans.maze[i][i]=1;
while(n){
if(n&1)ans=ans*a;
a=a*a;
n>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
//freopen("d:\\acm\\in.in","r",stdin);
ll n;
int cas=1;
while(scanf("%lld %lld",&n,&b),n||b){
matrix ans;
ans.init(3);
ans.maze[0][0]=ans.maze[0][2]=1;
ans.maze[1][2]=ans.maze[2][1]=ans.maze[2][2]=1;
printf("Case %d: %lld %lld",cas++,n,b);
if(n==0){
printf(" %d\n",1%b);
continue;
}
matrix ant;
ant.init(3);
ant.maze[0][0]=ant.maze[0][1]=ant.maze[0][2]=1;
ans=qlow(ans,n-1);
ant=ant*ans;
printf(" %lld\n",ant.maze[0][2]);
}
return 0;
}
分析：将斐波那契通项的加改成了乘，那么我们不会去记录这个数字是多少，我们发现这个数字都是有a的多少次方乘以b的多少次方决定的，那么我们记录a与b的次方数。可以简单的将乘法改写为加法，那么本质上与斐波那契的求法就没有什么区别了。
小结： 总算完成了kuangbin先生的矩阵专题了，已经不记得这是我做完的kuangbin先生的第几个专题了！累！但是满满的充实感！