均分纸牌及糖果传递问题

题目链接：

http://codevs.cn/problem/1098/

题意：

有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若于张纸牌，然后移动。
移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

分析：

首先明确顺序随意且纸牌的移动顺序并不影响最终的移动次数。
那么我们假设按照由左而右的顺序移动。
首先考虑第一张纸牌，如果数量不满足平均，那么后续必有一个步骤是移走他多余的纸牌的，所以肯定是把他所有多余纸牌一次性拿走是最优的，同理若不足平均值，则用他右边的纸牌数来一次性补充满足，那么现在问题来了，如果右边的纸牌数不够移给他左边的怎么办。。我们在移动过程中，只是改变了移动的顺序，而移动的次数不变，后面肯定会有一个步骤使得右边的纸牌数增加，那么我们让这个步骤先行即可。
贪心的关键是，减少操作数一次性让纸牌满足条件，顺序不会影响答案，出现负数的情况也继续操作。

代码：

/* On a hill is a tree, on a tree is a bough; My heart for the Lord, but he never knows. --Created by jiangyuzhu --2016/5/17 */
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << ": " << x << " "
#define pl(x) cout << #x << ": " << x << endl;
#define sa(x) scanf("%d",&(x))
#define sal(x) scanf("%I64d",&(x))
#define mdzz cout<<"mdzz"<<endl;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e2 + 5, mod = 1e9 + 7;
int a[maxn];
int main(void)
{
   int n;sa(n);
   int tot = 0;
   for(int i = 0; i < n; i++){
        sa(a[i]);
        tot += a[i];
   }
    tot /= n;
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(a[i] == tot) continue;
        if(a[i] < tot) a[i + 1] -= tot - a[i];
        if(a[i] > tot) a[i + 1] += a[i] - tot;
        ans++;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

题目链接：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1045

题意：

有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 ai 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。问最小代价。

分析：

证明摘自：http://hzwer.com/2656.html
我们用 xi 表示第 i 个小朋友给第 i−1 个小朋友的糖果数，其中 x1 表示第 1 个小朋友给第 n 个朋友的糖果数，那么最终答案即为 |x1|+|x2|+...|xn| 。
我们假设最后每个人剩 avg 个糖果，那么可以得到：
对于第一个小朋友： a1+x2−x1=avg
对于第二个小朋友： a2+x3−x2=avg
…
对于最后一个小朋友： an+x1−xn=avg
整理一下即可得到：
x2=avg−a1+x1
x3=avg−a2+x2=2avg+x1−a2
…
xn=avg−an−1+xn−1=(n−1)avg+x1−an−1
我们令 ci=ai+avg ，上述式子即可转化为求解 |x1|+|x1−c1|+|x1−c2|...+|x1−cn−1| 的最小值，那么直接令 x1 等于 c 的中位数即可。

代码：

/* On a hill is a tree, on a tree is a bough; My heart for the Lord, but he never knows. --Created by jiangyuzhu --2016/5/17 */
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << ": " << x << " "
#define pl(x) cout << #x << ": " << x << endl;
#define sa(x) scanf("%d",&(x))
#define sal(x) scanf("%lld",&(x))
#define mdzz cout<<"mdzz"<<endl;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 5, mod = 1e9 + 7;
ll a[maxn], c[maxn];
int main(void)
{
   int n;sa(n);
   ll tot = 0;
   for(int i = 0; i < n; i++){
        sal(a[i]);
        tot += a[i];
   }
    tot /= n;
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        c[i] = c[i - 1] + a[i] - tot;
    sort(c, c + n);
    int t = c[n / 2];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        ans += abs(c[i] - t);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}