LeetCode 96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

分析：要形成二分查找树，可以选取一个根节点，然后它的左子树和右子树都要为二分查找树，根据递归的思想，可以归纳出一些规律：

n	BST个数	备注
0	1	空树
1	1	只有根结点
2	1x1+1x1=2	根结点为1，右子树对应n = 1的情况 根结点为2，左子树对应也是n=1的情况
3	1x2+1x1+1x2=5	根结点为1，右子树对应n = 2的情况 根结点为2，比其小的左子树只有一种情况，比其大的右子树只有一种情况，共只有1x1种情况 根结点为3，左子树对应n = 2的情况
4	1x5+1x2+1x2+1x5=14	根结点为1，右子树对应n = 3的情况 根结点为2，左子树只有一种情况，右子树对应n = 2的情况，共1x2种情况 根结点为3，右子树只有一种情况，左子树对应n = 2的情况，共1x2种情况 根结点为4，左子树对应n = 3的情况

将每个 n 值对应的BST个数记录到一个数组count[]里，前两个我们知道

count[0] = 1;

count[1] = 1;

count[2] = count[0] * count[1] + count[1] * count[0] ;

count[3] = count[0] * conut[2] + count[1] * count[1] + count[2] * count[0];

……

count[n] = count[0] * count[n - 1] + count[1] * count[n - 2] + count[2] * count[n - 3] + … + count[n - 1] * count[0];

前辈的提醒下，知道这便是卡特兰数的定义。

代码：

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] count = new int[n + 1];
        count[0] = 1;
        count[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                count[i] += count[j] * count[i - 1 - j];
            }
        }
        return count[n];
    }
}