KMP算法、next数组与前缀中的周期(相关题目：Power strings, poj2406)

在一个大的字符串S中查找字符串T，naive的算法时间复杂度为O(s * t)（这里s与t代表S的长度与T的长度）；而应用KMP，时间复杂度为O(s + t)。

KMP算法的核心在于next数组。next数组只与字符串T有关，与S无关。

next数组的核心思想是存储字符串T的内容的相似性信息，具体而言：

next数组记录了T的每一个前缀子串M(m>=2)中，（M的）相等的前缀真子串与后缀真子串的最大长度。换句话说，就是M的首部和M的尾部最多有多少个字母完全相同。

举个例子，若T = agctagcagctagctg，求其next数组。

例如，前缀子串M = agctagcagct，长度为11，首部的agct与尾部的agct是一样的，长度为4，所以next[11 -1] = next[10] = 4。

那么，如何 编程求字符串T的next数组呢？Here is a bit tricky.

举个例子，T的前缀子串M = (a)(b)(a)...(a)(b)(a)(X)，我们已经计算出：

next0 = 0

next1 = 0

next2 = 1

next3 = 1

next4 = 2

next5 = 3

现在要计算next6即字符X的next数组值。

先看X的前一个字符的next数组值next5，为3，说明X前面的3个字符和开头的3个字符已经相同了：

如果X与第4个字符相同，即X == a，于是M的前4个字符与后4个字符相同，所以next5 = 4；

如果X与第4个字符不相同，比如X == b，于是需要找短一点的相同字串，长度小于next5 = 3的。于是下一步我们考察next[next[5]]，也就是next[3]的值，next3=1。 这里面的逻辑是：看子串M，因为next3=1，所以1号a与2号a相同，又因为next5=3，所以aba与aba相同，这意味着1号a与3号a相同，2号a与4号a相同，综上，1号a与4号a相同。所以，只要比较X（4号a的下一个字符）与1号a的下一个字符是否相同即可。这里X == b，与M的第二个字符相同，所以next6 = 2；就这样一直递归查找下去；

如果以上情况都不符合，next6 = 0。

下面是代码：

void get_next(const string T, int next[])
{
    int len = strlen(T);
    int i, k;    

    next[0] = 0;    //显然，next数组的第一个元素总是0

    for (i=1; i<len; ++i)
    {
        k = next[i-1];    //取得前一个字符的next值
        while (T[i] != T[k] && k != 0) k = next[k-1];    //如果不等，继续递归
        
        if (T[i] == T[k]) next[i] = k+1;    //直接延续前一个字符的对称性，或者找到稍小一些的对称性
        else next[i] = 0;
    }
}

接下来，考察 next数组的一个性质：

字符串T的长度为len，若len % (len - next[len-1]) == 0（其中next[len-1] != 0），则T有长度为(len - next[len-1])的 循环节（长度最小的重复单位）。

例如，若T = aabaabaabaab，next[11] = 9，12 % (12 - 9) == 0，则T有长度为3的循环节。脑补一下以aab为单位的子串比较过程即可理解。用这个性质可解决poj 2406。