剑指offer-面试10：二进制中1的个数（位运算）

位运算是把数字用二进制表示之后，对每一位上0或者1的运算。二进制及其位运算是现代计算机学科的基石，很多底层的技术都离不开位运算。

位运算的五种运算： 与、或、异或、左移和右移

运算	0、0	1、0	0、1	1、1
与（&）	0	0	0	1
或（）	0	1	1	1
异或（^）	0	1	1	0

左移运算符 m<<n表示把m左移n位。左移n位的时候，最左边的n位将被丢弃，同时在最右边补上n个0

00001010 << 2 = 00101000 10001010 << 3 = 01010000

右移运算符m >> n表示把m右移n位。右移n位的时候，最右边的n位将被丢弃。但右移时处理最左边位的情形要稍微复杂一点。如果数字是一个无符号数值，则用0填补最左边的n位。如果数字是一个有符号数值，则用数字的符号位填补最左边的n位。也就是说如果数字原先是一个正数，则右移之后在最左边补n个0；如果数字原先是负数，则右移之后在最左边补n个1.下面是对两个8位有符号数作右移的例子：

00001010 >> 2 = 00000010 10001010 >> 3 = 11110001

题目

请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。例如把9表示成二进制是1001，有2位是1.因此如果输入9，该函数输出2。

分析

可能引起死循环的解法

基本的思路：先判断整数二进制表示中最右边一位是不是1.接着把输入的整数右移一位，此时原来处于从右边数起的第二位被移到最右边了，再判断是不是1.这样每次移动一位，直到整个整数变成0为止。现在的问题变成怎么判断一个整数的最右边是不是 1 了。这很简单，只要把整数和 1 做位与运算看结果是不是 0 就直到了。 1 除了最右边的一位之外所有位都是0。如果一个整数与1做与运算的结果是1，表示该整数最右边一位是1，否则是0。基于这个思路，我们很快就能写出如下代码：

int NumberOf1( int n )
{
    int count = 0;
    while( n )
    {
        if( n&1 )
            count++;
        n = n >> 1;
    }
    return count;
}

面试官看了代码之后可能会问：把整数右移一位和把整数除以2在数学上是等价的，那上面的代码中可以把右移运算换成除以2 吗？答案是否定的。因为除法的效率比移位运算要低得多，在实际编程中应尽可能地用移位运算符代替乘除法

面试官接下来可能要问的第二个问题就是：上面的函数如果输入一个负数，比如0x80000000，运行的时候会发生什么情况？把负数0x80000000右移一位的时候，并不是简单地把最高位的1移到第二位编程0x40000000，而是0xC0000000.这是因为移位前是个负数，仍然要保证移位后是个负数，因此移位后的最高位会设为1.如果一直做右移运算，最终这个数字就会变成0xFFFFFFFF而陷入死循环。

常规解法

为了避免死循环，我们可以不右移输入的数字 i 。首先把 i 和 1 做与运算，判断 i 的最低位是不是为 1 。-接着把1左移一位得到2，再和 i 做与运算，就能判断 i 的次低位是不是 1 。。。这样反复左移，每次都能判断 i 的其中一位是不是 1 。

int NumberOf1( int n )
{
    int count = 0;
    unsigned int flag = 1;
    while( flag )
    {
        if( n&flag )
            count++;
        flag = flag << 1;
    }
    return count;
}

这个解法中循环的次数等于整数二进制的位数，32位的整数需要循环32次。 下面再介绍一种算法，整数中有几个 1 就只要循环几次。

能给面试官带来惊喜的解法

在分析这种算法之前，先来分析把一个数减去 1 的情况。 如果一个整数不等于 0 ，那么该整数的二进制表示中至少有一位是 1 。先假设 这个数的最右边一位是 1 ，那么减去 1 时，最后一位变成 0 而 其他所有位都保持不变。也就是最后一位相当于做了取反操作，由 1 变成了 0 。

接下来假设最后一位不是 1 而是 0 的情况。 如果 该整数的 二进制表示中最右边 1 位 于 第 m 位， 那么减去 1 时，第 m 位由 1 变成 0 ， 而第m位之后的所有0都变成1 ，整数中第m位之前的所有位都保持不变。 举个例子：一个二进制数 1100， 它的第二位是从最右边数起的 一个 1 。减去 1 后，第二位变成 0，它后面的两位 0 变成 1，而前面的 1 保持不变，因此得到的结果是 1011.

在前面两种情况中，我们发现把一个整数减去 1 ， 都是把最右边的 1 变成 0 。如果它右边还有 0 的话，所有的 0 都变成 1 ，而它左边 所有位都保持不变。 接下来 我们把一个整数和它减去 1 的结果做位与运算，相当于把它最右边的 1变成 0. 还是以前面的1100 为例，它减去 1 的结果是 1011. 我们再把1100和1011做位与运算，得到的结果是 1000. 我们把 1100 最右边的 1 变成了0， 结果刚好就是 1000.

总结：把一个整数减去 1， 再和原整数做与运算，会把该整数最右边一个 1 变成 0. 那么一个整数的二进制表示中有多少个 1，就可以进行多少次这样的操作

int NumberOf1( int n )
{
    int count = 0;
    while( n )
    {
        ++count;
        n = ( n-1 ) & n;
    }
    return count ;
}

测试用例&代码

（1） 正数（ 包括边界值 1、0x7FFFFFFF）

（2）负数（包括边界值0x80000000、0xFFFFFFFF）

（3） 0

代码见第二部分。

本题考点

（1） 对二进制及位运算的理解

（2）分析、调试代码的能力。如果应聘者在面试过程中采用的是第一种思路，当面试官提示他输入负数将会出现问题时，面试官会期待他能在心中运行代码，自己找出运行出现死循环的原因。这要求应聘者有一定的调试功底。

相关题目

（1）用一条语句判断一个整数是不是 2 的整数次方。

一个整数如果是 2 的整数次方，那么它的二进制表示中有且只有一位是 1， 而其他所有位都是 0. 根据前面的分析，把 这个整数减去 1之后再和它自己做与运算，这个整数中唯一的 1就会变成 0

（2）输入两个整数m和n，计算需要改变 m 的二进制表示中的多少位才能得到 n。 比如 10 的二进制表示为 1010， 13的二进制表示为 1101，需要改变 1010中的 3位才能得到 1101.

可以分为两步解决这个问题：第一步求这两个数的异或，第二步统计异或结果中 1 的位数。