Description
Input
Output
Sample Input
4
5 8
2 1 0
1 3 0
4 1 1
1 5 0
5 4 1
3 4 0
4 2 1
2 2 0
4 4
1 2 1
2 3 0
3 4 0
1 4 1
3 3
1 2 0
2 3 0
3 2 0
3 4
1 2 0
2 3 1
1 2 0
3 2 0
Sample Output
possible
impossible
impossible
possible
此题题意:给你n个点,m条边,x,y,d表示哪两个点相连,d=0表示为双向边,d=1表示为单向边x->y,问你可不可能找出这么一个点,使得从这个点出发,经过每条边仅一次,然后回到该点,每条边都必须走遍。
分析:欧拉回路分为有向图,无向图,混合图。显然此题就是混合图,既有有向边,又有无向边,下面粘贴一个在网上找到的关于欧拉回路的总结:
欧拉回路问题。1 定义欧拉通路 —— 通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路。欧拉回路——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。欧拉图——存在欧拉回路的图。2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定G有欧拉通路的充分必要条件为:G 连通,G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。G有欧拉回路(G为欧拉图):G连通,G中均为偶度顶点。3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定D有欧拉通路:D连通,除两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度,这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。D有欧拉回路(D为欧拉图):D连通,D中所有顶点的入度等于出度。4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合,即图中的边既有有向边也有无向边。5 混合图欧拉回路(混合图欧拉回路用的是网络流)把该图的无向边随便定向(按题目给的默认顺序就行),计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路,因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2,得 x。即是说,对于每一个点,只要将 x 条边反向(入>出就是x条入边反向,出>入就是x条出边反向,随便画个图就明白),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。现在的问题就变成了:该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。有向边不能改变方向,直接删掉(就是建图时不用管,因为不可变)。开始已定向的无向边,定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u,连接边(u, t)、容量为 x,对于出 > 入的点 v,连接边(s, v),容量为 x(注意对不同的点x不同)。之后,看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。查看流值分配,将所有流量非 0(上限是 1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有 x 条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和 s、t 连接的点怎么办?和s 连接的条件是出 > 入,和 t 连接的条件是入 > 出,那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。dinici模板为大白书上的模板:#include<stdio.h> #include<string.h> #include<vector> #include<queue> #include<algorithm> #define maxn 2000 #define LL long long #define inf 0x7fffffff #define INF 1e18 using namespace std; struct edge { int from,to,cap,flow; }; vector<edge> edges; vector<int> G[maxn]; int d[maxn],cur[maxn]; bool vis[maxn]; int s,t; void init() { for(int i=0;i<maxn;i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void add(int from,int to,int cap) { edges.push_back((edge){from,to,cap,0}); edges.push_back((edge){to,from,0,0}); int m=edges.size(); G[from].push_back(m-2); G[to].push_back(m-1); } bool bfs() { memset(vis,false,sizeof(vis)); memset(d,0,sizeof(d)); queue<int> q; q.push(s); d[s]=0,vis[s]=true; while(!q.empty()) { int x=q.front(); q.pop(); for(int i=0;i<G[x].size();i++) { edge& e=edges[G[x][i]]; if(!vis[e.to]&&e.cap>e.flow) { vis[e.to]=true; d[e.to]=d[x]+1; q.push(e.to); } } } return vis[t]; } int dfs(int x,int a) { if(x==t||a==0) return a; int flow=0,f; for(int& i=cur[x];i<G[x].size();i++) { edge& e=edges[G[x][i]]; if(d[x]+1==d[e.to]&&(f=dfs(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0) { e.flow+=f; edges[G[x][i]^1].flow-=f; flow+=f; a-=f; if(a==0) break; } } return flow; } int maxflow() { int flow=0; while(bfs()) { memset(cur,0,sizeof(cur)); flow+=dfs(s,inf); } return flow; } int in[300],out[300];///记录每个点的入度和出度 int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T--) { int m,p,x,y,d; scanf("%d%d",&m,&p); init(); s=0,t=m+1; memset(in,0,sizeof(in)); memset(out,0,sizeof(out)); for(int i=1;i<=p;i++) { scanf("%d%d%d",&x,&y,&d); in[y]++,out[x]++; if(!d) add(x,y,1);///无向边建图,有向边不用管 } int flog=1; for(int i=1;i<=m;i++) { if(abs(in[i]-out[i])&1)///入度和出度之差为奇数,不存在这样的欧拉回路 { flog=0; break; } } if(!flog) { puts("impossible"); continue; } int sum=0; for(int i=1;i<=m;i++) { if(in[i]>out[i]) add(i,t,(in[i]-out[i])>>1),sum+=(in[i]-out[i])>>1; if(in[i]<out[i]) add(s,i,(out[i]-in[i])>>1); } if(maxflow()==sum) puts("possible"); else puts("impossible"); } return 0; }