算法导论22章基本的图算法 思考题总结

22-1 （以广度优先搜索来对图的边进行分类）深度优先搜索将图中的边分类为树边、后向边、前向边和横向边。广度优先搜索也可以用来进行这种分类。具体来说，广度优先搜索将从源结点可以到达的边划分为同样的4种类型。

a.证明在对无向图进行的广度优先搜索中，下面的性质成立：

1.不存在后向边，也不存在前向边。

2.对于每条树边(u, v)，我们有v.d = u.d + 1。

3.对于每条横向边(u, v)，我么有v.d = u.d 或 v.d = u.d + 1。

b.证明在对有向图进行广度优先搜索时，下面的性质成立：

1.不存在前向边。

2.对于每条树边(u, v)，我们有v.d = u.d + 1。

3.对于每条横向边(u, v)，我们有v.d ≤ u.d + 1。

4.对于每条后向边(u, v)，我们有0 ≤ v.d ≤ u.d。

ANSWER：

a：

1.假如(u, v)是前向边，则搜索结点v前必搜索u，则根据BFS，当搜索结点u以后必先搜索结点v，则(u, v)是树边；同理，若(u, v)是后向边，则(v, u)是树边；矛盾，所以不存在前向边和后向边。

2.对于每条树边(u, v)有v.π = u，切执行v.π = u的同时执行v.d = u.d + 1；在这之后u.d和v.d都不会改变，所以v.d = u.d + 1；得证。

3.由(u, v)为横向边可知，当搜索结点u时，v必须在队列中，否则(u, v)为树边，所以v.d ≤ u.d + 1。又由无向图横向边可知v.d ≥ u.d。所以u.d = v.d 或 u.d + 1 = v.d。

b：

1.假如(u, v)是前向边，则u.d ＜ v.d，则搜索结点u时，结点v仍是白色，则(u, v)必是树边，矛盾；所以不存在前向边。

2.同a.2。

3.和a.3类似。

4.显然有v.d ≥ 0，又由后向边可知v.d ≤ u.d，得证。

22-4 （可到达性）设G = (V, E)为一个有向图，且每个结点u∈V都标有一个唯一的整数值标记L(u)，L(u)的取值为集合{1，2，...，|V| }。对于每个结点u∈V，设R(u) = {v∈V：u→v}为从结点u可以到达的所有结点的集合。定义min(u)为R(u)中标记最小的结点，即min(u)为结点v，满足L(v) = min{L(w)：w∈R(u)}。请给出一个时间复杂度为O(V + E)的算法来计算所有结点u∈V的min(u)。

ANSWER：按照结点L(u)顺序对每个结点查找该结点可到达的结点，并找出最小的L(v)，即min(u)；

对V个结点进行查找共计E条边，所以时间复杂度为O(V + E)。