迪杰斯特拉算法(Dijkstra算法)

这是一个求图中最短路径的问题，即带权图中求一个顶点到另外任一顶点的最小距离。

以下图为例，图画的比较丑，莫喷。双向箭头表示无向图。

如果我们计算A点到其他点的最短距离，那么我们构建过程是这样的：

一列表示一次迭代

开始节点集为A一个，每一次迭代，从节点集中找到到其他节点的最短距离，并将最小的节点计入节点集中，进入下一次迭代。直到所有的节点都进入到节点集中。

终点\轮数	1	2	3	4	5	6
B	∞	6(ADB)	6(ADB)
C	∞	∞	∞	12(ADBC)	8(ADGEC)	8(ADGEC)
D	4(AD)
E	∞	∞	6(ADGE)	6(ADGE)
F	6(AF)	6(AF)	6(AF)	6(AF)	6(AF)
G	∞	5(ADG)
节点	A,D	A,D,G	A,D,G,B	A,D,G,B,E	A,D,G,B,E,F	A,D,G,B,E,F,C

 问题是如何证明这个方法是对的？如何证明我们的推导过程能使得   已确定的最小距离的路径   在增加了新的节点进入节点集以后    不会出现新的路径使距离更短？

问题等价于证明：我们的推导过程能使得，假设S为已求得最短路径的终点的集合，下一条最短路径(设其终点为x)是只经过S的顶点到达x的，不会出现经过S以外的点到达x的情况。

证明：

反证法，倘若出现了一个顶点y不在S中，那么说明了存在一条路径经过y而长度比到x的更短。但是，根据我们的推导过程，这是不可能的。

因为按照我们的推导方式，只要这个顶点没有被加入顶点集，那么y应该拿出来和x比较看谁更小更有资格成为更短路径，比较的结果是y取代x成为最短路径，结果是x不能成为最短路径，这与原命题是矛盾的。

这种情况在我们的推导过程中不可能出现，也就是说我们的推导过程能满足原命题。