scikit-learn : 线性回归

# 线性回归背景 从线性回归(Linear regression)开始学习回归分析，线性回归是最早的也是最基本的模型——把数据拟合成一条直线。 — # 数据集 使用scikit-learn里的数据集boston,boston数据集很适合用来演示线性回归。boston数据集包含了波士顿地区的房屋价格中位数。还有一些可能会影响房价的因素，比如犯罪率（crime rate）。 ## 加载数据

from sklearn import datasets
boston = datasets.load_boston()

## 数据可视化

import pandas as pd
import warnings # 用来忽略seaborn绘图库产生的warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
sns.set(style="white", color_codes=True)
%matplotlib inline

## scikit-learn 数据转换成pandas Datafram

def skdata2df(skdata):
    dfdata = pd.DataFrame(skdata.data,columns=skdata.feature_names)
    dfdata["target"] = skdata.target
    return dfdata

bs = skdata2df(boston)

bs.head()

	CRIM	ZN	INDUS	CHAS	NOX	RM	AGE	DIS	RAD	TAX	PTRATIO	B	LSTAT	target
0	0.00632	18.0	2.31	0.0	0.538	6.575	65.2	4.0900	1.0	296.0	15.3	396.90	4.98	24.0
1	0.02731	0.0	7.07	0.0	0.469	6.421	78.9	4.9671	2.0	242.0	17.8	396.90	9.14	21.6
2	0.02729	0.0	7.07	0.0	0.469	7.185	61.1	4.9671	2.0	242.0	17.8	392.83	4.03	34.7
3	0.03237	0.0	2.18	0.0	0.458	6.998	45.8	6.0622	3.0	222.0	18.7	394.63	2.94	33.4
4	0.06905	0.0	2.18	0.0	0.458	7.147	54.2	6.0622	3.0	222.0	18.7	396.90	5.33	36.2

bs.describe()

	CRIM	ZN	INDUS	CHAS	NOX	RM	AGE	DIS	RAD	TAX	PTRATIO	B	LSTAT	target
count	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000
mean	3.593761	11.363636	11.136779	0.069170	0.554695	6.284634	68.574901	3.795043	9.549407	408.237154	18.455534	356.674032	12.653063	22.532806
std	8.596783	23.322453	6.860353	0.253994	0.115878	0.702617	28.148861	2.105710	8.707259	168.537116	2.164946	91.294864	7.141062	9.197104
min	0.006320	0.000000	0.460000	0.000000	0.385000	3.561000	2.900000	1.129600	1.000000	187.000000	12.600000	0.320000	1.730000	5.000000
25%	0.082045	0.000000	5.190000	0.000000	0.449000	5.885500	45.025000	2.100175	4.000000	279.000000	17.400000	375.377500	6.950000	17.025000
50%	0.256510	0.000000	9.690000	0.000000	0.538000	6.208500	77.500000	3.207450	5.000000	330.000000	19.050000	391.440000	11.360000	21.200000
75%	3.647423	12.500000	18.100000	0.000000	0.624000	6.623500	94.075000	5.188425	24.000000	666.000000	20.200000	396.225000	16.955000	25.000000
max	88.976200	100.000000	27.740000	1.000000	0.871000	8.780000	100.000000	12.126500	24.000000	711.000000	22.000000	396.900000	37.970000	50.000000

fig = plt.figure()
for i,f in enumerate(boston.feature_names):
    sns.jointplot(x=f, y="target", data=bs, kind='reg', size=6)

线性回归模型

用scikit-learn的线性回归非常简单
首先，导入LinearRegression类创建一个对象：

from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr = LinearRegression()

现在，再把自变量和因变量传给LinearRegression的fit方法：

lr.fit(boston.data, boston.target)

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)

现在开始预测

predictions = lr.predict(boston.data)

用预测值与实际值的残差（residuals）直方图分布来直观显示预测结果：

%matplotlib inline
f, ax = plt.subplots(figsize=(7, 5))
f.tight_layout()
ax.hist(boston.target-predictions,bins=40, label='Residuals Linear', color='b', alpha=.5);
ax.set_title("Histogram of Residuals")
ax.legend(loc='best');

查看相关系数

lr.coef_

array([ -1.07170557e-01,   4.63952195e-02,   2.08602395e-02,
         2.68856140e+00,  -1.77957587e+01,   3.80475246e+00,
         7.51061703e-04,  -1.47575880e+00,   3.05655038e-01,
        -1.23293463e-02,  -9.53463555e-01,   9.39251272e-03,
        -5.25466633e-01])

list(zip(boston.feature_names, lr.coef_))

[('CRIM', -0.1071705565603549),
 ('ZN', 0.046395219529801912),
 ('INDUS', 0.020860239532175279),
 ('CHAS', 2.6885613993180009),
 ('NOX', -17.79575866030935),
 ('RM', 3.8047524602580065),
 ('AGE', 0.00075106170332261968),
 ('DIS', -1.4757587965198196),
 ('RAD', 0.3056550383391009),
 ('TAX', -0.012329346305275379),
 ('PTRATIO', -0.95346355469056254),
 ('B', 0.0093925127221887728),
 ('LSTAT', -0.52546663290078754)]

用条形图直观查看相关系数

def plotCofBar(x_feature,y_cof):
    x_value = range(len(x_feature))
    plt.bar(x_value, y_cof, alpha = 1, color = 'r', align="center")
    plt.autoscale(tight=True)
    plt.xticks([i for i in range(len(x_feature))],x_feature,rotation="90")
    plt.xlabel("feature names")
    plt.ylabel("cof")
    plt.title("The cof of Linear regression")
    plt.show()

plotCofBar(boston.feature_names,lr.coef_)

线性回归原理

线性回归的基本理念是找出满足 y=Xβ 的相关系数集合 β ，其中 X 是因变量数据矩阵。想找一组完全能够满足等式的相关系数很难，因此通常会增加一个误差项表示不精确程度或测量误差。因此，方程就变成了 y=Xβ+ϵ ，其中 ϵ 被认为是服从正态分布且与 X 独立的随机变量。用几何学的观点描述，就是说这个变量与 X 是正交的（perpendicular）。可以证明 E(Xϵ)=0 。

为了找到相关系数集合 β ，我们最小化误差项，这转化成了残差平方和最小化问题。

这个问题可以用解析方法解决，其解是:

β=(XTX)−1XTy^

线性回归可以自动标准正态化(normalize或scale)输入数据

回归模型都可以实现自动标准正态化输入数据，但是像KNN这种模型数据标准正态化前后性能差别很大。参考我的另一篇文章

lr2 = LinearRegression(normalize=True)
lr2.fit(boston.data, boston.target)

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=True)

predictions2 = lr2.predict(boston.data)
%matplotlib inline
from matplotlib import pyplot as plt
f, ax = plt.subplots(figsize=(7, 5))
f.tight_layout()
ax.hist(boston.target-predictions2,bins=40, label='Residuals Linear', color='b', alpha=.5);
ax.set_title("Histogram of Residuals")
ax.legend(loc='best');

import numpy as np
print "after normalize:",np.percentile(boston.target-predictions2, 75)
print "before normalize:",np.percentile(boston.target-predictions,75)

after normalize: 1.78311579433
before normalize: 1.78311579433

从上面分位数看没有任何差别。