【数值分析】常微分方程数值解：欧拉公式

本科课程参见：《软件学院那些课》

算法原理

对于常微分方程初值问题

在求解区间[a,b]上作等距分割的剖分，步长，记。用数值微商的方法，即用差商近似微商数值求解常微分方程。

用向前差商近似

做出y(x)的在x=x0处的一阶向前差商式： 

又，于是得到

而y(x1)的近似值y1可按

 或 

求得。类似地，由

 以及 

得到计算近似值的向前欧拉公式：

由差商（差分）得到的上述方程称为差分方程。

由yn直接算出yn+1值的计算格式称为显式格式，向前欧拉公式是显式格式。

算法流程

算法代码

　　//欧拉公式代码
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

double f(double x,double y){
    return -50*y;
}

vector<double> Euler(double x0,double y0,double h,int N){
    vector<double> Y(N,0);
    double x=x0;
    Y[0]=y0;
    for(int n=1;n<N;n++){
        Y[n] = Y[n-1] + h*f(x,Y[n-1]);
        x += h;
    }
    return Y;
}

int main(){
    char a='n';
    do{
        cout<<"请输入步长h和要计算的函数值的个数N： "<<endl;
        double h;
        int N;
        cin>>h>>N;
        cout<<"请输入要初始函数点（x0，y0）："<<endl;
        double x0;
        double y0;
        cin>>x0>>y0;
        vector<double> Y=Euler(x0,y0,h,N+1);
        cout<<"欧拉格式计算结果为：  "<<endl;
        for(int i=0;i<N+1;i++){
            cout<<x0+i*h<<"     "<<Y[i]<<endl;
        }
        cout<<"是否要继续？(y/n)"<<endl;
        cin>>a;
    }while(a=='y');
        return 0;
}



//改进的欧拉公式
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

double f(double x,double y){
    return y-(2*x)/y;
}

vector<double> ImprovedEuler(double x0,double y0,double h,int N){
    vector<double> Y(N,0);
    Y[0]=y0;
    double x=x0;
    double p=0;
    double c=0;
    for(int n=1;n<N;n++){
        p=Y[n-1]+h*f(x,Y[n-1]);
        x +=h;
        c=Y[n-1]+h*f(x,p);
        Y[n]=(p+c)/2;
    }
    return Y;
}

int main(){
    char a='n';
    do{
        cout<<"请输入步长h和要计算的函数值的个数N： "<<endl;
        double h;
        int N;
        cin>>h>>N;
        cout<<"请输入要初始函数点（x0，y0）："<<endl;
        double x0;
        double y0;
        cin>>x0>>y0;
        vector<double> Y=ImprovedEuler(x0,y0,h,N+1);
        cout<<"欧拉格式计算结果为：  "<<endl;
        for(int i=0;i<N+1;i++){
            cout<<x0+i*h<<"     "<<Y[i]<<endl;
        }
        cout<<"是否要继续？(y/n)"<<endl;
        cin>>a;
    }while(a=='y');
        return 0;
}

实验过程原始记录

（1）分别取h=0.05，N=10；h=0.025，N=20；h=0.01，N=50，用显式欧拉方法求解微分方程初值 问题：y’=-50y，y(0)=10

h=0.05，N=10

h=0.025，N=20

h=0.01，N=50

（2）用改进的欧拉格式计算下列一阶常微分方程初值问题

其解析解为： 

实验结果及分析

1、欧拉公式用以求解常微分方程中的定解问题
2、可以看出，欧拉公式的精度很低，对于不同的步长求得相同点处的值差距可能很大；而且计算中的误差会累计。但显式欧拉公式取向前差商作为平均斜率，计算简单，且利于编写计算机程序，所以对于一些简单函数仍有很大的价值。
3、改进的欧拉公式是欧拉方法和梯形方法的综合，也是一种显式算法，计算简单，利于编写程序，与欧拉公式相比大大提高了精度。