经典算法题04-背包问题

本来我是想解决公共最长子序列问题，但是在解题过程中需要先清楚动态规划算法，故先用动态规划算法中最经典的背包问题来说明。

背包问题

问题描述

有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]，求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大？

实际生活中的例子可以描述为小偷那个袋子去偷东西，拿什么东西装满袋子才能获取最大价值？

这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

我们把题目具体下：

有3个商品，背包的体积为10，他们的体积为c[]={3,4,5}; 价值为 w={4,5,6}。V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

从转移方程上可以看出，前i个物品的最优解只依赖于前i-1个物品最优解，而与前i-2，i-3,…各物品最优无直接关系，可以利用这个特点优化存储空间，即只申请一个一维数组即可，算法时间复杂度（O(VN)）为:

for i=1..N

  for v=V..0

    f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

注意v的遍历顺序！！！
下面几种背包用到类似优化，以后不再赘述。

分析

在求最优解的背包问题中，一般有两种不同的问法：1、要求“恰好装满背包”时的最优解；2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包。

这两种问法，在初始化的时候是不同的。
（1）背包不一定装满

（2）背包一定装满
注意初始值，其中-inf表示负无穷:

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。可以将背包问题的求解看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些不放入背包。

如果一个问题的最优解包含了物品n，即Xn = 1，那么其余X1, X2, …..,Xn-1
一定构成子问题1,2,…..,n-1在容量C - cn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即Xn = 0;
那么其余 X1, X2…..Xn-1一定构成了子问题 1,2,….n-1在容量C时的最优解。 //请各位仔细品味这几句话

根据以上分析最优解的结构递归定义问题的最优解: f[i][v] = max{ f[i-1][v] , f[i-1][v - c[i]] + v[i]}

编码

import java.io.IOException;

/** * @param * @Title: 动态规划-背包问题 * @Author: xuming * @Description: * @date:2016/5/31 9:22 * @return */
public class myMathDemo2 {

    public static void main(String[] args) throws IOException {

        int c[] = {0, 3, 4, 5};
        int v[] = {0, 4, 5, 6};
        int f[][] = new int[4][11];

        for (int i = 1; i < 4; i++)
            for (int j = 1; j < 11; j++) {
                if (c[i] > j)//如果背包的容量，放不下c[i]，则不选c[i]
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + v[i]);//转移方程式
                    System.out.println(f[i][j]);
                }
            }
        System.out.println("last answer: " + f[3][10]);
        for (int m = 0; m < 4; m++) {
            for (int n = 0; n < 11; n++) {
                System.out.println("the matrix answer f[" + m + "][" + n + "]:" + f[m][n]);
            }
        }


    }


}

结果是：