POJ1664 放苹果

放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

Source

lwx@POJ

 

解题思路：笔者对组合数学并不了解，见别人都说是组合数学题，那就归到这一类吧，这题的思想是找递归关系，我们不妨令f(m,n)表示m个苹果放到n个盘子里有多少种放法，下面对不同的情况给予讨论:

(1):当盘子数为1的时候，只有一种放法就是把所有苹果放到一个盘子里。

(2):当苹果数为1的时候，也只有一种放法，注意题目中说明，盘子之间并无顺序,所以不管这个苹果放在哪个盘子里，结果都算一个。

(3):当m<n时，因为此时最多只能放到m个盘子中去（一个里放一个），实际上就相当于把m个苹果放到m个盘子里一样，也就是f(m,m);

(4):当m==n时,此时分两种情况讨论，一种是一个盘子里放一个，只是一种，第二种是，至少有一个盘子里不放苹果这就相当于是f(m,m-1);

(5):当m>n时，也分两种情况讨论，一种是至少有一个盘子里不放苹果，这样子就相当于f(m,n-1),第二种是，先取出n个苹果一个盘子里放一个，再将剩下的m-n个苹果放到n个盘子里去，即f(m-n,n);

综上所述:

得到递归表达式：

f(m,n)=1 当 m=1或n=1；

f(m,n)=f(m,m) 当m<n;

f(m,n)=1+f(m,m-1) 当m=n;

f(m,n)=f(m-n,n)+f(m,n-1);

在递归的过程中采用记忆化搜索可以减少不必要的时间，算过的东西就不要再算了。

Code：

<textarea cols="50" rows="15" name="code" class="c-sharp">/* *C++ *JackyZheng *2010/12/2 */ #include&lt;iostream&gt; #include&lt;cstring&gt; using namespace std; int f[11][11]; int PutApple(int m,int n) { if(f[m][n]) return f[m][n]; else if(m==1||n==1) { f[m][n]=1; return f[m][n]; } else if(m&lt;n) { f[m][n]=PutApple(m,m); return f[m][n]; } else if(m==n) { f[m][n]=1+PutApple(m,m-1); return f[m][n]; } else { f[m][n]=PutApple(m-n,n)+PutApple(m,n-1); return f[m][n]; } } int main() { int Case; cin&gt;&gt;Case; int m,n; while(Case--) { memset(f,0,sizeof(f)); cin&gt;&gt;m&gt;&gt;n; cout&lt;&lt;PutApple(m,n)&lt;&lt;endl; } return 0; } </textarea>