EM算法(Expectation Maximization)

  

EM算法(Expectation Maximization)

1 极大似然估计

    假设有如图1的X所示的抽取的n个学生某门课程的成绩，又知学生的成绩符合高斯分布f(x|μ,σ²)，求学生的成绩最符合哪种高斯分布，即μ和σ²最优值是什么？

图1 学生成绩的分布

    欲求在抽样X时，最优的μ和σ²参数估计，虽然模型的原型已知，但不同的参数对应着不同的学生成绩分布，其中一种最简单有效的参数估计方法就是估计的参数在目前抽样的数据上表现最好，即使得f(X|μ,σ²)的联合概率最大，这就是极大似然估计，常用L(μ,σ²|X)表示，满足公式（1）所示的关系。在实际计算中，对数函数是一个严格递增的函数，对似然函数取代数后，计算要简单很多，而且直接的似然函数计算中涉及大量浮点概率的乘法，容易导致计算机浮点计算精不够而出现机器0值，从而常用公式（2）的l(μ,σ²|X)来求极大似然估计，更普遍的如公式(3)所示。     余下的问题，就是求l(μ,σ²|X)的极大值的过程，即参数的一阶偏导为0的极值点，在此不详述了，可参看下图。

     非常庆幸，对于正态分布来说，μ和σ²都能解析地直接求解，从而得到学生成绩满足何种正态分布。但实际情况是，许多应用模型中求解μ和σ²都十分困难。

2 隐含状态的极大似然估计

    如第1节中所述，学生的单科成绩满足高斯分布f(x|μ,σ²)，假设抽取的X是学生的语文和数学成绩，显然这样的成绩应该符合分布g(x|λ₁,λ₂,μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²)，如公式(3)所示，两个混合的高斯分布，λ₁,λ₂分别表示f(x|μ₁,σ₁²)和f(x|μ₂,σ₂²)的在模型中的比率。

    对于公式(5)所示的极大似然估计求解中，偏导的方程组，由于和的对数的存在，方程组的求解已经是神鬼难助了。

    如果知道X_m={x₁,x₂,…,x_m}属于语文成绩，X_else={x_1+m,x_2+m,…,x_n}属于数学成绩，g(x|θ)将变得极其简单，完全可以由第1节方法求解；如果知道μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²，求X_m和X_else也很容易——鸡蛋困境？

    接下来详述的EM(Expectation Maximization, EM)算法解决的就是这个鸡蛋困境，不管是先有鸡还是先有蛋，最终命运都会被享用。

3 EM算法

    在此先将问题抽象，已知模型为p(x|θ)，X=(x₁,x₂,…,x_n)，求θ。引入隐含变量Z=(z₁,z₂,…,z_n)，使得模型满足公式(6)或公式(7)的关系。由第1节的极大似然估计有，l(θ)满足公式(8)。

    和很多求极值的算法一样(NN的BP算法)，EM算法也是通过迭代计算l(θ) 的极值的。假设第n轮迭代计算出的

θ为θ_n，在新的迭代中，最简单的想法就是新的θ要优于θ_n即可，有l(θ)-l(θ_n)如下所示。如公式(9)描述，计算的的难度主要在于log函数中的求和，为解决这个问题和找到l(θ)-l(θ_n)的下界值，引入Jensen不等式。

函数的凹凸性与Jensen不等式：    

    如果f(x)为凸函数，f(x)满足公式(10)的关系，具体证明不述，紧述的函数图就明了地描绘了这种关系。更一般地说，f(x)满足公式(11)中的关系，证明可由公式(10)导出，称为Jensen不等式。

      至于什么是凸函数，f(x)的二阶偏导恒大于(或等于)0，如果x为高维向量，hessian矩阵必须(半)正定，凹函数属性相对。

     而f(x)=log(x), f^’’=-1/x²<0 就为一个典型的凹函数，满足关系(11)。

    公式(9)中的l(θ)-l(θ_n)满足如下关系： 

    进而有：

  图2 l(θ)和φ(θ_n,θ)关系图

     可见l(θ)的下界为φ(θ_n,θ)，φ(θ_n,θ)值越大， l(θ)的下界也将越大(其中的θ_n为已知变量)，具体l(θ)和φ(θ_n,θ)的关系可从图2可看出：φ(θ_n,θ)增长的方向也是l(θ)增长的方向，也就是任意增长φ(θ_n,θ)值的θ，都将使l(θ)下界增大，从而迭代使l(θ)逼近理想值。当然，在此最好的φ(θ_n,θ)值的θ便是，max(φ(θ_n,θ))处的θ，计算如下：

        这样，迭代求θ的方法就显而易见了：

随机初始化θ₀。

1、求条件期望F(θ,θ_n)，如上公共所示；

2、求F(θ,θ_n)的极值处θ_n+1。

3、反复迭代1，2计算，直到θ_n收敛，即|θ_n+1-θ_n|<α(收敛条件)。

     这样，EM算法就完全解决了鸡和蛋的问题了，至于初始化条件可以是鸡(θ₀)，也可以是蛋(z₀)。

     PS：EM算法的敛散性，由计算中的下界迭代，可很清晰的看到，EM算法收敛，但可能收敛于局部最优解，证明不述。  

     精髓：再回过头来看EM算法，可见EM算法只是在辅助求极大似然参数估计，因对数参数和的存在，使偏导计算难解，EM则利用Jensen不等式，找到似然函数的下界，且使对数参数和变成了最喜见的对数参数积。

4 缺失数据问题

    可以说EM算法天生就是用来解决缺失数据的问题的，将第3节的隐变量z看成是数据中缺失的数据即可。

    在完全数据X(无缺失数据)下，知模型为f(x|θ)，求数据满足何种模型？这可以由第1节的极大似然估计求解；如果采样数据存在部分未知Z，预测这些含未知的数据的数据符何什么模型？这就可借用第3节的EM算法了，先随机假设θ₀，迭代求解，最后求知f(x|θ)，当然也就可出了z。

5 GMM

    很多常见的模型，其解的过程都属于EM算法，最简单的Kmeans，稍复杂的有混合高斯模型(GMM)，PLSA，HMM的学习问题……在此主要讲述GMM，其它模型将在其它篇章介绍。

    如第2节所述，GMM模型为第2节案例的扩展，由K个高斯分布模型构成：

1、隐变量：   2、E步有隐变量期望：

3、M步求参数估计：

具体计算请参看李航的《统计学习方法》。

PS：Kmeans为只考虑正球体时的GMM情况。

 

参考资料：

1、Sean Borman. The Expectation Maximization Algorithm;

2、李航. 统计学习方法;

3、虞台文. EM Algorithm.

对于同仁们的布道授业，一并感谢。

EM是我一直想深入学习的算法之一，第一次听说是在NLP课中的HMM那一节，为了解决HMM的参数估计问题，使用了EM算法。在之后的MT中的词对齐中也用到了。在Mitchell的书中也提到EM可以用于贝叶斯网络中。

下面主要介绍EM的整个推导过程。

1. Jensen不等式

      回顾优化理论中的一些概念。设f是定义域为实数的函数，如果对于所有的实数x，，那么f是凸函数。当x是向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（），那么f是凸函数。如果或者，那么称f是严格凸函数。

      Jensen不等式表述如下：

      如果f是凸函数，X是随机变量，那么

     

      特别地，如果f是严格凸函数，那么当且仅当，也就是说X是常量。

      这里我们将简写为。

      如果用图表示会很清晰：

     

      图中，实线f是凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。（就像掷硬币一样）。X的期望值就是a和b的中值了，图中可以看到成立。

      当f是（严格）凹函数当且仅当-f是（严格）凸函数。

      Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向，也就是。

2. EM算法

      给定的训练样本是，样例间独立，我们想找到每个样例隐含的类别z，能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下：

     

      第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。但是直接求一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

      EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化，我们可以不断地建立的下界（E步），然后优化下界（M步）。这句话比较抽象，看下面的。

      对于每一个样例i，让表示该样例隐含变量z的某种分布，满足的条件是。（如果z是连续性的，那么是概率密度函数，需要将求和符号换做积分符号）。比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布了。

可以由前面阐述的内容得到下面的公式：

     

      （1）到（2）比较直接，就是分子分母同乘以一个相等的函数。（2）到（3）利用了Jensen不等式，考虑到是凹函数（二阶导数小于0），而且

     

      就是的期望（回想期望公式中的Lazy Statistician规则）

设Y是随机变量X的函数（g是连续函数），那么       （1） X是离散型随机变量，它的分布律为，k=1,2,…。若绝对收敛，则有             （2） X是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有

      对应于上述问题，Y是，X是，是，g是到的映射。这样解释了式子（2）中的期望，再根据凹函数时的Jensen不等式：

     

可以得到（3）。

      这个过程可以看作是对求了下界。对于的选择，有多种可能，那种更好的？假设已经给定，那么的值就决定于和了。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上升，以逼近的真实值，那么什么时候算是调整好了呢？当不等式变成等式时，说明我们调整后的概率能够等价于了。按照这个思路，我们要找到等式成立的条件。根据Jensen不等式，要想让等式成立，需要让随机变量变成常数值，这里得到：

     

      c为常数，不依赖于。对此式子做进一步推导，我们知道，那么也就有，（多个等式分子分母相加不变，这个认为每个样例的两个概率比值都是c），那么有下式：

     

      至此，我们推出了在固定其他参数后，的计算公式就是后验概率，解决了如何选择的问题。这一步就是E步，建立的下界。接下来的M步，就是在给定后，调整，去极大化的下界（在固定后，下界还可以调整的更大）。那么一般的EM算法的步骤如下：

循环重复直到收敛 {       （E步）对于每一个i，计算                         （M步）计算

      那么究竟怎么确保EM收敛？假定和是EM第t次和t+1次迭代后的结果。如果我们证明了，也就是说极大似然估计单调增加，那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。下面来证明，选定后，我们得到E步

     

      这一步保证了在给定时，Jensen不等式中的等式成立，也就是

     

      然后进行M步，固定，并将视作变量，对上面的求导后，得到，这样经过一些推导会有以下式子成立：

     

      解释第（4）步，得到时，只是最大化，也就是的下界，而没有使等式成立，等式成立只有是在固定，并按E步得到时才能成立。

      况且根据我们前面得到的下式，对于所有的和都成立

     

      第（5）步利用了M步的定义，M步就是将调整到，使得下界最大化。因此（5）成立，（6）是之前的等式结果。

      这样就证明了会单调增加。一种收敛方法是不再变化，还有一种就是变化幅度很小。

      再次解释一下（4）、（5）、（6）。首先（4）对所有的参数都满足，而其等式成立条件只是在固定，并调整好Q时成立，而第（4）步只是固定Q，调整，不能保证等式一定成立。（4）到（5）就是M步的定义，（5）到（6）是前面E步所保证等式成立条件。也就是说E步会将下界拉到与一个特定值（这里）一样的高度，而此时发现下界仍然可以上升，因此经过M步后，下界又被拉升，但达不到与另外一个特定值一样的高度，之后E步又将下界拉到与这个特定值一样的高度，重复下去，直到最大值。

      如果我们定义

     

      从前面的推导中我们知道，EM可以看作是J的坐标上升法，E步固定，优化，M步固定优化。

3. 重新审视混合高斯模型

      我们已经知道了EM的精髓和推导过程，再次审视一下混合高斯模型。之前提到的混合高斯模型的参数和计算公式都是根据很多假定得出的，有些没有说明来由。为了简单，这里在M步只给出和的推导方法。

E步很简单，按照一般EM公式得到：

     

      简单解释就是每个样例i的隐含类别为j的概率可以通过后验概率计算得到。

      在M步中，我们需要在固定后最大化最大似然估计，也就是

     

      这是将的k种情况展开后的样子，未知参数和。

      固定和，对求导得

     

      等于0时，得到

     

      这就是我们之前模型中的的更新公式。

      然后推导的更新公式。看之前得到的

     

      在和确定后，分子上面的一串都是常数了，实际上需要优化的公式是：

     

      需要知道的是，还需要满足一定的约束条件就是。

      这个优化问题我们很熟悉了，直接构造拉格朗日乘子。

     

      还有一点就是，但这一点会在得到的公式里自动满足。

      求导得，

     

      等于0，得到

     

      也就是说再次使用，得到

     

      这样就神奇地得到了。

      那么就顺势得到M步中的更新公式：

     

      的推导也类似，不过稍微复杂一些，毕竟是矩阵。结果在之前的混合高斯模型中已经给出。

4. 总结

      如果将样本看作观察值，潜在类别看作是隐藏变量，那么聚类问题也就是参数估计问题，只不过聚类问题中参数分为隐含类别变量和其他参数，这犹如在x-y坐标系中找一个曲线的极值，然而曲线函数不能直接求导，因此什么梯度下降方法就不适用了。但固定一个变量后，另外一个可以通过求导得到，因此可以使用坐标上升法，一次固定一个变量，对另外的求极值，最后逐步逼近极值。对应到EM上，E步估计隐含变量，M步估计其他参数，交替将极值推向最大。EM中还有“硬”指定和“软”指定的概念，“软”指定看似更为合理，但计算量要大，“硬”指定在某些场合如K-means中更为实用（要是保持一个样本点到其他所有中心的概率，就会很麻烦）。

      另外，EM的收敛性证明方法确实很牛，能够利用log的凹函数性质，还能够想到利用创造下界，拉平函数下界，优化下界的方法来逐步逼近极大值。而且每一步迭代都能保证是单调的。最重要的是证明的数学公式非常精妙，硬是分子分母都乘以z的概率变成期望来套上Jensen不等式，前人都是怎么想到的。

      在Mitchell的Machine Learning书中也举了一个EM应用的例子，明白地说就是将班上学生的身高都放在一起，要求聚成两个类。这些身高可以看作是男生身高的高斯分布和女生身高的高斯分布组成。因此变成了如何估计每个样例是男生还是女生，然后在确定男女生情况下，如何估计均值和方差，里面也给出了公式，有兴趣可以参考。